Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60740 / 85772
↖ ↑ ↗
← S 48.480204°
W 13.172607°		 ← 202.46 m → S 48.480204°
W 13.169861°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
S 48.482025°
W 13.172607°		 ← 202.45 m →
40 979 m²		 S 48.482025°
W 13.169861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463413238525391 y=0.654392242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463413238525391 × 217)
    floor (0.463413238525391 × 131072)
    floor (60740.5)     		tx = 60740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654392242431641 × 217)
    floor (0.654392242431641 × 131072)
    floor (85772.5)     		ty = 85772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60740 / 85772 ti = "17/60740/85772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60740/85772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60740 ÷ 217
    60740 ÷ 131072     		x = 0.463409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85772 ÷ 217
    85772 ÷ 131072     		y = 0.654388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.07318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22990537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.30877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.970051100711456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22990537} λ = -0.22990537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970051100711456))-π/2
    2×atan(0.379063667185389)-π/2
    2×0.362328569005835-π/2
    0.72465713801167-1.57079632675     		φ = -0.84613919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22990537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84613919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.480204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60740 KachelY 85772 -0.22990537 -0.84613919 -13.172607 -48.480204
    Oben rechts KachelX + 1 60741 KachelY 85772 -0.22985743 -0.84613919 -13.169861 -48.480204
    Unten links KachelX 60740 KachelY + 1 85773 -0.22990537 -0.84617096 -13.172607 -48.482025
    Unten rechts KachelX + 1 60741 KachelY + 1 85773 -0.22985743 -0.84617096 -13.169861 -48.482025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84613919--0.84617096) × R
    3.17699999999865e-05 × 6371000     		dl = 202.406669999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84613919--0.84617096) × R
    3.17699999999865e-05 × 6371000     		dr = 202.406669999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(-0.84613919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.662878770780042 × 6371000     		do = 202.460239095769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(-0.84617096) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.662854983396898 × 6371000     		du = 202.45297381667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84613919)-sin(-0.84617096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662878770780042-0.662854983396898)×R²
    abs(-0.22985743--0.22990537)×2.3787383144569e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3787383144569e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3787383144569e-05×40589641000000     		ar = 40978.5675357128m²