Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60740 / 55924
↖ ↑ ↗
← N 25.512700°
W 13.172607°		 ← 275.64 m → N 25.512700°
W 13.169861°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.510221°
W 13.172607°		 ← 275.65 m →
75 988 m²		 N 25.510221°
W 13.169861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463413238525391 y=0.426670074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463413238525391 × 217)
    floor (0.463413238525391 × 131072)
    floor (60740.5)     		tx = 60740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426670074462891 × 217)
    floor (0.426670074462891 × 131072)
    floor (55924.5)     		ty = 55924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60740 / 55924 ti = "17/60740/55924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60740/55924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60740 ÷ 217
    60740 ÷ 131072     		x = 0.463409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55924 ÷ 217
    55924 ÷ 131072     		y = 0.426666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.07318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22990537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426666259765625 × 2 - 1) × π
    0.14666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.46076947914798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22990537} λ = -0.22990537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46076947914798))-π/2
    2×atan(1.58529336597875)-π/2
    2×1.00803847149479-π/2
    2.01607694298957-1.57079632675     		φ = 0.44528062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22990537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44528062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.512700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60740 KachelY 55924 -0.22990537 0.44528062 -13.172607 25.512700
    Oben rechts KachelX + 1 60741 KachelY 55924 -0.22985743 0.44528062 -13.169861 25.512700
    Unten links KachelX 60740 KachelY + 1 55925 -0.22990537 0.44523735 -13.172607 25.510221
    Unten rechts KachelX + 1 60741 KachelY + 1 55925 -0.22985743 0.44523735 -13.169861 25.510221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44528062-0.44523735) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dl = 275.673170000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44528062-0.44523735) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dr = 275.673170000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(0.44528062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902489834768143 × 6371000     		do = 275.643625626517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(0.44523735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902508470794906 × 6371000     		du = 275.649317548781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44528062)-sin(0.44523735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902489834768143-0.902508470794906)×R²
    abs(-0.22985743--0.22990537)×1.8636026763108e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8636026763108e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8636026763108e-05×40589641000000     		ar = 75988.3366338611m²