Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60740 / 33886
↖ ↑ ↗
← N 65.259005°
W 13.172607°		 ← 127.83 m → N 65.259005°
W 13.169861°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
N 65.257856°
W 13.172607°		 ← 127.83 m →
16 337 m²		 N 65.257856°
W 13.169861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463413238525391 y=0.258533477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463413238525391 × 217)
    floor (0.463413238525391 × 131072)
    floor (60740.5)     		tx = 60740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258533477783203 × 217)
    floor (0.258533477783203 × 131072)
    floor (33886.5)     		ty = 33886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60740 / 33886 ti = "17/60740/33886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60740/33886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60740 ÷ 217
    60740 ÷ 131072     		x = 0.463409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33886 ÷ 217
    33886 ÷ 131072     		y = 0.258529663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.07318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22990537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258529663085938 × 2 - 1) × π
    0.482940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51720287297478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22990537} λ = -0.22990537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51720287297478))-π/2
    2×atan(4.55945397017942)-π/2
    2×1.35489042032801-π/2
    2.70978084065601-1.57079632675     		φ = 1.13898451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22990537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13898451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.259005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60740 KachelY 33886 -0.22990537 1.13898451 -13.172607 65.259005
    Oben rechts KachelX + 1 60741 KachelY 33886 -0.22985743 1.13898451 -13.169861 65.259005
    Unten links KachelX 60740 KachelY + 1 33887 -0.22990537 1.13896445 -13.172607 65.257856
    Unten rechts KachelX + 1 60741 KachelY + 1 33887 -0.22985743 1.13896445 -13.169861 65.257856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13898451-1.13896445) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13898451-1.13896445) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(1.13898451) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418516996712872 × 6371000     		do = 127.825863423597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(1.13896445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418535215300495 × 6371000     		du = 127.831427849203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13898451)-sin(1.13896445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418516996712872-0.418535215300495)×R²
    abs(-0.22985743--0.22990537)×1.82185876231866e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82185876231866e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82185876231866e-05×40589641000000     		ar = 16336.7898054885m²