Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60740 / 32187
↖ ↑ ↗
← N 67.141165°
W 13.172607°		 ← 118.65 m → N 67.141165°
W 13.169861°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
N 67.140098°
W 13.172607°		 ← 118.65 m →
14 075 m²		 N 67.140098°
W 13.169861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463413238525391 y=0.245571136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463413238525391 × 217)
    floor (0.463413238525391 × 131072)
    floor (60740.5)     		tx = 60740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245571136474609 × 217)
    floor (0.245571136474609 × 131072)
    floor (32187.5)     		ty = 32187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60740 / 32187 ti = "17/60740/32187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60740/32187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60740 ÷ 217
    60740 ÷ 131072     		x = 0.463409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32187 ÷ 217
    32187 ÷ 131072     		y = 0.245567321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.07318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22990537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245567321777344 × 2 - 1) × π
    0.508865356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.59864766542925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22990537} λ = -0.22990537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59864766542925))-π/2
    2×atan(4.94633879445128)-π/2
    2×1.37131535710698-π/2
    2.74263071421396-1.57079632675     		φ = 1.17183439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22990537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17183439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.141165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60740 KachelY 32187 -0.22990537 1.17183439 -13.172607 67.141165
    Oben rechts KachelX + 1 60741 KachelY 32187 -0.22985743 1.17183439 -13.169861 67.141165
    Unten links KachelX 60740 KachelY + 1 32188 -0.22990537 1.17181577 -13.172607 67.140098
    Unten rechts KachelX + 1 60741 KachelY + 1 32188 -0.22985743 1.17181577 -13.169861 67.140098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17183439-1.17181577) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dl = 118.628019999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17183439-1.17181577) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dr = 118.628019999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(1.17183439) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.388462013139077 × 6371000     		do = 118.646297824883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22990537--0.22985743) × cos(1.17181577) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.388479170745166 × 6371000     		du = 118.65153819942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17183439)-sin(1.17181577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388462013139077-0.388479170745166)×R²
    abs(-0.22985743--0.22990537)×1.71576060895018e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71576060895018e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71576060895018e-05×40589641000000     		ar = 14075.0862192695m²