Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60739 / 55895
↖ ↑ ↗
← N 25.584562°
W 13.175354°		 ← 275.48 m → N 25.584562°
W 13.172607°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.582085°
W 13.175354°		 ← 275.48 m →
75 873 m²		 N 25.582085°
W 13.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463405609130859 y=0.426448822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463405609130859 × 217)
    floor (0.463405609130859 × 131072)
    floor (60739.5)     		tx = 60739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426448822021484 × 217)
    floor (0.426448822021484 × 131072)
    floor (55895.5)     		ty = 55895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60739 / 55895 ti = "17/60739/55895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60739/55895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60739 ÷ 217
    60739 ÷ 131072     		x = 0.463401794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55895 ÷ 217
    55895 ÷ 131072     		y = 0.426445007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463401794433594 × 2 - 1) × π
    -0.0731964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22995331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426445007324219 × 2 - 1) × π
    0.147109985351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.462159649236961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22995331} λ = -0.22995331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462159649236961))-π/2
    2×atan(1.58749872595596)-π/2
    2×1.00866559075213-π/2
    2.01733118150426-1.57079632675     		φ = 0.44653485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22995331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.175354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44653485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.584562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60739 KachelY 55895 -0.22995331 0.44653485 -13.175354 25.584562
    Oben rechts KachelX + 1 60740 KachelY 55895 -0.22990537 0.44653485 -13.172607 25.584562
    Unten links KachelX 60739 KachelY + 1 55896 -0.22995331 0.44649162 -13.175354 25.582085
    Unten rechts KachelX + 1 60740 KachelY + 1 55896 -0.22990537 0.44649162 -13.172607 25.582085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44653485-0.44649162) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44653485-0.44649162) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22995331--0.22990537) × cos(0.44653485) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901948914209074 × 6371000     		do = 275.478414564482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22995331--0.22990537) × cos(0.44649162) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901967581928126 × 6371000     		du = 275.484116166387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44653485)-sin(0.44649162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901948914209074-0.901967581928126)×R²
    abs(-0.22990537--0.22995331)×1.86677190520124e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86677190520124e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86677190520124e-05×40589641000000     		ar = 75872.5900649809m²