Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60738 / 55879
↖ ↑ ↗
← N 25.624193°
W 13.178100°		 ← 275.33 m → N 25.624193°
W 13.175354°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.621716°
W 13.178100°		 ← 275.34 m →
75 832 m²		 N 25.621716°
W 13.175354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463397979736328 y=0.426326751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463397979736328 × 217)
    floor (0.463397979736328 × 131072)
    floor (60738.5)     		tx = 60738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426326751708984 × 217)
    floor (0.426326751708984 × 131072)
    floor (55879.5)     		ty = 55879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60738 / 55879 ti = "17/60738/55879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60738/55879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60738 ÷ 217
    60738 ÷ 131072     		x = 0.463394165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55879 ÷ 217
    55879 ÷ 131072     		y = 0.426322937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463394165039062 × 2 - 1) × π
    -0.073211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23000124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426322937011719 × 2 - 1) × π
    0.147354125976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.462926639630882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23000124} λ = -0.23000124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462926639630882))-π/2
    2×atan(1.58871678929086)-π/2
    2×1.00901142652338-π/2
    2.01802285304676-1.57079632675     		φ = 0.44722653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23000124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.178100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44722653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.624193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60738 KachelY 55879 -0.23000124 0.44722653 -13.178100 25.624193
    Oben rechts KachelX + 1 60739 KachelY 55879 -0.22995331 0.44722653 -13.175354 25.624193
    Unten links KachelX 60738 KachelY + 1 55880 -0.23000124 0.44718330 -13.178100 25.621716
    Unten rechts KachelX + 1 60739 KachelY + 1 55880 -0.22995331 0.44718330 -13.175354 25.621716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44722653-0.44718330) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44722653-0.44718330) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23000124--0.22995331) × cos(0.44722653) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.901650001487489 × 6371000     		do = 275.329674803732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23000124--0.22995331) × cos(0.44718330) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.901668696171821 × 6371000     		du = 275.33538345049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44722653)-sin(0.44718330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901650001487489-0.901668696171821)×R²
    abs(-0.22995331--0.23000124)×1.86946843323543e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86946843323543e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86946843323543e-05×40589641000000     		ar = 75831.6253787055m²