Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60738 / 33887
↖ ↑ ↗
← N 65.257856°
W 13.178100°		 ← 127.80 m → N 65.257856°
W 13.175354°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
N 65.256707°
W 13.178100°		 ← 127.81 m →
16 334 m²		 N 65.256707°
W 13.175354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463397979736328 y=0.258541107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463397979736328 × 217)
    floor (0.463397979736328 × 131072)
    floor (60738.5)     		tx = 60738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258541107177734 × 217)
    floor (0.258541107177734 × 131072)
    floor (33887.5)     		ty = 33887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60738 / 33887 ti = "17/60738/33887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60738/33887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60738 ÷ 217
    60738 ÷ 131072     		x = 0.463394165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33887 ÷ 217
    33887 ÷ 131072     		y = 0.258537292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463394165039062 × 2 - 1) × π
    -0.073211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23000124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258537292480469 × 2 - 1) × π
    0.482925415039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.51715493607516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23000124} λ = -0.23000124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51715493607516))-π/2
    2×atan(4.55923540933073)-π/2
    2×1.35488038890609-π/2
    2.70976077781219-1.57079632675     		φ = 1.13896445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23000124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.178100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13896445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.257856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60738 KachelY 33887 -0.23000124 1.13896445 -13.178100 65.257856
    Oben rechts KachelX + 1 60739 KachelY 33887 -0.22995331 1.13896445 -13.175354 65.257856
    Unten links KachelX 60738 KachelY + 1 33888 -0.23000124 1.13894439 -13.178100 65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 60739 KachelY + 1 33888 -0.22995331 1.13894439 -13.175354 65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13896445-1.13894439) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13896445-1.13894439) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23000124--0.22995331) × cos(1.13896445) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418535215300495 × 6371000     		do = 127.80476297065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23000124--0.22995331) × cos(1.13894439) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 127.810326184122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13896445)-sin(1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418535215300495-0.418553433719698)×R²
    abs(-0.22995331--0.23000124)×1.82184192030754e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82184192030754e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82184192030754e-05×40589641000000     		ar = 16334.0930427456m²