Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60737 / 55878
↖ ↑ ↗
← N 25.626669°
W 13.180847°		 ← 275.38 m → N 25.626669°
W 13.178100°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
N 25.624193°
W 13.180847°		 ← 275.39 m →
75 828 m²		 N 25.624193°
W 13.178100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463390350341797 y=0.426319122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463390350341797 × 217)
    floor (0.463390350341797 × 131072)
    floor (60737.5)     		tx = 60737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426319122314453 × 217)
    floor (0.426319122314453 × 131072)
    floor (55878.5)     		ty = 55878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60737 / 55878 ti = "17/60737/55878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60737/55878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60737 ÷ 217
    60737 ÷ 131072     		x = 0.463386535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55878 ÷ 217
    55878 ÷ 131072     		y = 0.426315307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463386535644531 × 2 - 1) × π
    -0.0732269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23004918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426315307617188 × 2 - 1) × π
    0.147369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.462974576530502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23004918} λ = -0.23004918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462974576530502))-π/2
    2×atan(1.58879294927353)-π/2
    2×1.00903303745221-π/2
    2.01806607490442-1.57079632675     		φ = 0.44726975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23004918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.180847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44726975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.626669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60737 KachelY 55878 -0.23004918 0.44726975 -13.180847 25.626669
    Oben rechts KachelX + 1 60738 KachelY 55878 -0.23000124 0.44726975 -13.178100 25.626669
    Unten links KachelX 60737 KachelY + 1 55879 -0.23004918 0.44722653 -13.180847 25.624193
    Unten rechts KachelX + 1 60738 KachelY + 1 55879 -0.23000124 0.44722653 -13.178100 25.624193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44726975-0.44722653) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dl = 275.354620000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44726975-0.44722653) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dr = 275.354620000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23004918--0.23000124) × cos(0.44726975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901631309443178 × 6371000     		do = 275.38140989383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23004918--0.23000124) × cos(0.44722653) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901650001487489 × 6371000     		du = 275.387118925296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44726975)-sin(0.44722653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901631309443178-0.901650001487489)×R²
    abs(-0.23000124--0.23004918)×1.86920443108196e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86920443108196e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86920443108196e-05×40589641000000     		ar = 75828.3294923124m²