Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60736 / 83392
↖ ↑ ↗
← S 43.961191°
W 13.183594°		 ← 219.85 m → S 43.961191°
W 13.180847°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
S 43.963167°
W 13.183594°		 ← 219.84 m →
48 322 m²		 S 43.963167°
W 13.180847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463382720947266 y=0.636234283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463382720947266 × 217)
    floor (0.463382720947266 × 131072)
    floor (60736.5)     		tx = 60736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636234283447266 × 217)
    floor (0.636234283447266 × 131072)
    floor (83392.5)     		ty = 83392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60736 / 83392 ti = "17/60736/83392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60736/83392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60736 ÷ 217
    60736 ÷ 131072     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83392 ÷ 217
    83392 ÷ 131072     		y = 0.63623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855961279615723))-π/2
    2×atan(0.424874571450104)-π/2
    2×0.401764403533219-π/2
    0.803528807066439-1.57079632675     		φ = -0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60736 KachelY 83392 -0.23009712 -0.76726752 -13.183594 -43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 60737 KachelY 83392 -0.23004918 -0.76726752 -13.180847 -43.961191
    Unten links KachelX 60736 KachelY + 1 83393 -0.23009712 -0.76730202 -13.183594 -43.963167
    Unten rechts KachelX + 1 60737 KachelY + 1 83393 -0.23004918 -0.76730202 -13.180847 -43.963167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76726752--0.76730202) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dl = 219.799500000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76726752--0.76730202) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dr = 219.799500000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.23004918) × cos(-0.76726752) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 219.848551614798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.23004918) × cos(-0.76730202) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71978621341472 × 6371000     		du = 219.841236873972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76726752)-sin(-0.76730202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.71978621341472)×R²
    abs(-0.23004918--0.23009712)×2.39493266888102e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39493266888102e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39493266888102e-05×40589641000000     		ar = 48321.7978371971m²