Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60736 / 56006
↖ ↑ ↗
← N 25.309270°
W 13.183594°		 ← 276.11 m → N 25.309270°
W 13.180847°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
N 25.306787°
W 13.183594°		 ← 276.11 m →
76 240 m²		 N 25.306787°
W 13.180847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463382720947266 y=0.427295684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463382720947266 × 217)
    floor (0.463382720947266 × 131072)
    floor (60736.5)     		tx = 60736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427295684814453 × 217)
    floor (0.427295684814453 × 131072)
    floor (56006.5)     		ty = 56006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60736 / 56006 ti = "17/60736/56006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60736/56006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60736 ÷ 217
    60736 ÷ 131072     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56006 ÷ 217
    56006 ÷ 131072     		y = 0.427291870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427291870117188 × 2 - 1) × π
    0.145416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.456838653379135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456838653379135))-π/2
    2×atan(1.57907408542675)-π/2
    2×1.00626320768586-π/2
    2.01252641537171-1.57079632675     		φ = 0.44173009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44173009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.309270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60736 KachelY 56006 -0.23009712 0.44173009 -13.183594 25.309270
    Oben rechts KachelX + 1 60737 KachelY 56006 -0.23004918 0.44173009 -13.180847 25.309270
    Unten links KachelX 60736 KachelY + 1 56007 -0.23009712 0.44168675 -13.183594 25.306787
    Unten rechts KachelX + 1 60737 KachelY + 1 56007 -0.23004918 0.44168675 -13.180847 25.306787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44173009-0.44168675) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dl = 276.119140000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44173009-0.44168675) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dr = 276.119140000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.23004918) × cos(0.44173009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.904013395922308 × 6371000     		do = 276.108960419463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.23004918) × cos(0.44168675) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.904031923102208 × 6371000     		du = 276.114619097094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44173009)-sin(0.44168675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904013395922308-0.904031923102208)×R²
    abs(-0.23004918--0.23009712)×1.85271798994746e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85271798994746e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85271798994746e-05×40589641000000     		ar = 76239.7499438625m²