Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60736 / 55999
↖ ↑ ↗
← N 25.326649°
W 13.183594°		 ← 276.07 m → N 25.326649°
W 13.180847°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 25.324167°
W 13.183594°		 ← 276.08 m →
76 211 m²		 N 25.324167°
W 13.180847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463382720947266 y=0.427242279052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463382720947266 × 217)
    floor (0.463382720947266 × 131072)
    floor (60736.5)     		tx = 60736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427242279052734 × 217)
    floor (0.427242279052734 × 131072)
    floor (55999.5)     		ty = 55999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60736 / 55999 ti = "17/60736/55999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60736/55999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60736 ÷ 217
    60736 ÷ 131072     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55999 ÷ 217
    55999 ÷ 131072     		y = 0.427238464355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427238464355469 × 2 - 1) × π
    0.145523071289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.457174211676476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457174211676476))-π/2
    2×atan(1.57960404574955)-π/2
    2×1.00641487140305-π/2
    2.0128297428061-1.57079632675     		φ = 0.44203342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44203342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.326649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60736 KachelY 55999 -0.23009712 0.44203342 -13.183594 25.326649
    Oben rechts KachelX + 1 60737 KachelY 55999 -0.23004918 0.44203342 -13.180847 25.326649
    Unten links KachelX 60736 KachelY + 1 56000 -0.23009712 0.44199009 -13.183594 25.324167
    Unten rechts KachelX + 1 60737 KachelY + 1 56000 -0.23004918 0.44199009 -13.180847 25.324167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44203342-0.44199009) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44203342-0.44199009) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.23004918) × cos(0.44203342) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903883679508236 × 6371000     		do = 276.069341687705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.23004918) × cos(0.44199009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903902214294465 × 6371000     		du = 276.075002688504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44203342)-sin(0.44199009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903883679508236-0.903902214294465)×R²
    abs(-0.23004918--0.23009712)×1.85347862287077e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85347862287077e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85347862287077e-05×40589641000000     		ar = 76211.2222164014m²