Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60734 / 40288
↖ ↑ ↗
← N 56.800878°
W 13.189087°		 ← 167.20 m → N 56.800878°
W 13.186341°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
N 56.799375°
W 13.189087°		 ← 167.21 m →
27 952 m²		 N 56.799375°
W 13.186341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463367462158203 y=0.307376861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463367462158203 × 217)
    floor (0.463367462158203 × 131072)
    floor (60734.5)     		tx = 60734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307376861572266 × 217)
    floor (0.307376861572266 × 131072)
    floor (40288.5)     		ty = 40288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60734 / 40288 ti = "17/60734/40288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60734/40288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60734 ÷ 217
    60734 ÷ 131072     		x = 0.463363647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40288 ÷ 217
    40288 ÷ 131072     		y = 0.307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463363647460938 × 2 - 1) × π
    -0.073272705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23019299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307373046875 × 2 - 1) × π
    0.38525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21031084160718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23019299} λ = -0.23019299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21031084160718))-π/2
    2×atan(3.3545272171359)-π/2
    2×1.28107933567538-π/2
    2.56215867135076-1.57079632675     		φ = 0.99136234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23019299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.189087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99136234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.800878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60734 KachelY 40288 -0.23019299 0.99136234 -13.189087 56.800878
    Oben rechts KachelX + 1 60735 KachelY 40288 -0.23014506 0.99136234 -13.186341 56.800878
    Unten links KachelX 60734 KachelY + 1 40289 -0.23019299 0.99133610 -13.189087 56.799375
    Unten rechts KachelX + 1 60735 KachelY + 1 40289 -0.23014506 0.99133610 -13.186341 56.799375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99136234-0.99133610) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dl = 167.175039999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99136234-0.99133610) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dr = 167.175039999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23019299--0.23014506) × cos(0.99136234) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.547550400126254 × 6371000     		do = 167.201101709774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23019299--0.23014506) × cos(0.99133610) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.547572356853518 × 6371000     		du = 167.207806460583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99136234)-sin(0.99133610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547550400126254-0.547572356853518)×R²
    abs(-0.23014506--0.23019299)×2.19567272640164e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19567272640164e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19567272640164e-05×40589641000000     		ar = 27952.41130151m²