Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60732 / 55900
↖ ↑ ↗
← N 25.572176°
W 13.194580°		 ← 275.51 m → N 25.572176°
W 13.191834°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.569698°
W 13.194580°		 ← 275.51 m →
75 898 m²		 N 25.569698°
W 13.191834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463352203369141 y=0.426486968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463352203369141 × 217)
    floor (0.463352203369141 × 131072)
    floor (60732.5)     		tx = 60732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426486968994141 × 217)
    floor (0.426486968994141 × 131072)
    floor (55900.5)     		ty = 55900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60732 / 55900 ti = "17/60732/55900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60732/55900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60732 ÷ 217
    60732 ÷ 131072     		x = 0.463348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55900 ÷ 217
    55900 ÷ 131072     		y = 0.426483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.07330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23028887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426483154296875 × 2 - 1) × π
    0.14703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.461919964738861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23028887} λ = -0.23028887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461919964738861))-π/2
    2×atan(1.58711827271679)-π/2
    2×1.00855749357255-π/2
    2.0171149871451-1.57079632675     		φ = 0.44631866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23028887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.194580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44631866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.572176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60732 KachelY 55900 -0.23028887 0.44631866 -13.194580 25.572176
    Oben rechts KachelX + 1 60733 KachelY 55900 -0.23024093 0.44631866 -13.191834 25.572176
    Unten links KachelX 60732 KachelY + 1 55901 -0.23028887 0.44627542 -13.194580 25.569698
    Unten rechts KachelX + 1 60733 KachelY + 1 55901 -0.23024093 0.44627542 -13.191834 25.569698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44631866-0.44627542) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44631866-0.44627542) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23028887--0.23024093) × cos(0.44631866) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902042253213629 × 6371000     		do = 275.506922699019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23028887--0.23024093) × cos(0.44627542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902060916818726 × 6371000     		du = 275.512623044417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44631866)-sin(0.44627542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902042253213629-0.902060916818726)×R²
    abs(-0.23024093--0.23028887)×1.86636050972799e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86636050972799e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86636050972799e-05×40589641000000     		ar = 75897.9942823803m²