Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60731 / 40285
↖ ↑ ↗
← N 56.805390°
W 13.197327°		 ← 167.18 m → N 56.805390°
W 13.194580°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
N 56.803886°
W 13.197327°		 ← 167.19 m →
27 949 m²		 N 56.803886°
W 13.194580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463344573974609 y=0.307353973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463344573974609 × 217)
    floor (0.463344573974609 × 131072)
    floor (60731.5)     		tx = 60731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307353973388672 × 217)
    floor (0.307353973388672 × 131072)
    floor (40285.5)     		ty = 40285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60731 / 40285 ti = "17/60731/40285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60731/40285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60731 ÷ 217
    60731 ÷ 131072     		x = 0.463340759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40285 ÷ 217
    40285 ÷ 131072     		y = 0.307350158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463340759277344 × 2 - 1) × π
    -0.0733184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23033680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307350158691406 × 2 - 1) × π
    0.385299682617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21045465230604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23033680} λ = -0.23033680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21045465230604))-π/2
    2×atan(3.35500966872936)-π/2
    2×1.28111870510907-π/2
    2.56223741021815-1.57079632675     		φ = 0.99144108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23033680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.197327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99144108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.805390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60731 KachelY 40285 -0.23033680 0.99144108 -13.197327 56.805390
    Oben rechts KachelX + 1 60732 KachelY 40285 -0.23028887 0.99144108 -13.194580 56.805390
    Unten links KachelX 60731 KachelY + 1 40286 -0.23033680 0.99141484 -13.197327 56.803886
    Unten rechts KachelX + 1 60732 KachelY + 1 40286 -0.23028887 0.99141484 -13.194580 56.803886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99144108-0.99141484) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dl = 167.175039999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99144108-0.99141484) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dr = 167.175039999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23033680--0.23028887) × cos(0.99144108) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547484510946151 × 6371000     		do = 167.18098165608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23033680--0.23028887) × cos(0.99141484) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547506468804685 × 6371000     		du = 167.187686752336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99144108)-sin(0.99141484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547484510946151-0.547506468804685)×R²
    abs(-0.23028887--0.23033680)×2.19578585332059e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19578585332059e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19578585332059e-05×40589641000000     		ar = 27949.0477594113m²