Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60731 / 40267
↖ ↑ ↗
← N 56.832447°
W 13.197327°		 ← 167.06 m → N 56.832447°
W 13.194580°		 →
↑
167.11 m
↓
↑
167.11 m
↓
N 56.830944°
W 13.197327°		 ← 167.07 m →
27 918 m²		 N 56.830944°
W 13.194580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463344573974609 y=0.307216644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463344573974609 × 217)
    floor (0.463344573974609 × 131072)
    floor (60731.5)     		tx = 60731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307216644287109 × 217)
    floor (0.307216644287109 × 131072)
    floor (40267.5)     		ty = 40267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60731 / 40267 ti = "17/60731/40267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60731/40267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60731 ÷ 217
    60731 ÷ 131072     		x = 0.463340759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40267 ÷ 217
    40267 ÷ 131072     		y = 0.307212829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463340759277344 × 2 - 1) × π
    -0.0733184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23033680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307212829589844 × 2 - 1) × π
    0.385574340820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.2113175164992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23033680} λ = -0.23033680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2113175164992))-π/2
    2×atan(3.35790583575994)-π/2
    2×1.28135482223402-π/2
    2.56270964446805-1.57079632675     		φ = 0.99191332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23033680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.197327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99191332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.832447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60731 KachelY 40267 -0.23033680 0.99191332 -13.197327 56.832447
    Oben rechts KachelX + 1 60732 KachelY 40267 -0.23028887 0.99191332 -13.194580 56.832447
    Unten links KachelX 60731 KachelY + 1 40268 -0.23033680 0.99188709 -13.197327 56.830944
    Unten rechts KachelX + 1 60732 KachelY + 1 40268 -0.23028887 0.99188709 -13.194580 56.830944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99191332-0.99188709) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dl = 167.111330000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99191332-0.99188709) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dr = 167.111330000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23033680--0.23028887) × cos(0.99191332) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54708927201236 × 6371000     		do = 167.060290692922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23033680--0.23028887) × cos(0.99188709) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547111228282178 × 6371000     		du = 167.066995304045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99191332)-sin(0.99188709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54708927201236-0.547111228282178)×R²
    abs(-0.23028887--0.23033680)×2.19562698182685e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19562698182685e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19562698182685e-05×40589641000000     		ar = 27918.227577566m²