Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60731 / 26187
↖ ↑ ↗
← N 72.755110°
W 13.197327°		 ← 90.53 m → N 72.755110°
W 13.194580°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
N 72.754296°
W 13.197327°		 ← 90.53 m →
8 196 m²		 N 72.754296°
W 13.194580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463344573974609 y=0.199794769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463344573974609 × 217)
    floor (0.463344573974609 × 131072)
    floor (60731.5)     		tx = 60731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199794769287109 × 217)
    floor (0.199794769287109 × 131072)
    floor (26187.5)     		ty = 26187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60731 / 26187 ti = "17/60731/26187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60731/26187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60731 ÷ 217
    60731 ÷ 131072     		x = 0.463340759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26187 ÷ 217
    26187 ÷ 131072     		y = 0.199790954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463340759277344 × 2 - 1) × π
    -0.0733184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23033680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199790954589844 × 2 - 1) × π
    0.600418090820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.88626906314959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23033680} λ = -0.23033680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88626906314959))-π/2
    2×atan(6.59471824770385)-π/2
    2×1.42030627474256-π/2
    2.84061254948513-1.57079632675     		φ = 1.26981622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23033680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.197327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26981622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.755110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60731 KachelY 26187 -0.23033680 1.26981622 -13.197327 72.755110
    Oben rechts KachelX + 1 60732 KachelY 26187 -0.23028887 1.26981622 -13.194580 72.755110
    Unten links KachelX 60731 KachelY + 1 26188 -0.23033680 1.26980201 -13.197327 72.754296
    Unten rechts KachelX + 1 60732 KachelY + 1 26188 -0.23028887 1.26980201 -13.194580 72.754296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26981622-1.26980201) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26981622-1.26980201) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23033680--0.23028887) × cos(1.26981622) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.296456396356114 × 6371000     		do = 90.5265269977905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23033680--0.23028887) × cos(1.26980201) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.296469967535369 × 6371000     		du = 90.5306711206375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26981622)-sin(1.26980201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296456396356114-0.296469967535369)×R²
    abs(-0.23028887--0.23033680)×1.35711792557669e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.35711792557669e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.35711792557669e-05×40589641000000     		ar = 8195.72698255672m²