Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60730 / 40284
↖ ↑ ↗
← N 56.806894°
W 13.200073°		 ← 167.21 m → N 56.806894°
W 13.197327°		 →
↑
167.24 m
↓
↑
167.24 m
↓
N 56.805390°
W 13.200073°		 ← 167.22 m →
27 964 m²		 N 56.805390°
W 13.197327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463336944580078 y=0.307346343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463336944580078 × 217)
    floor (0.463336944580078 × 131072)
    floor (60730.5)     		tx = 60730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307346343994141 × 217)
    floor (0.307346343994141 × 131072)
    floor (40284.5)     		ty = 40284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60730 / 40284 ti = "17/60730/40284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60730/40284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60730 ÷ 217
    60730 ÷ 131072     		x = 0.463333129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40284 ÷ 217
    40284 ÷ 131072     		y = 0.307342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463333129882812 × 2 - 1) × π
    -0.073333740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23038474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307342529296875 × 2 - 1) × π
    0.38531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21050258920566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23038474} λ = -0.23038474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21050258920566))-π/2
    2×atan(3.35517050134595)-π/2
    2×1.28113182720083-π/2
    2.56226365440166-1.57079632675     		φ = 0.99146733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23038474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.200073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99146733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.806894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60730 KachelY 40284 -0.23038474 0.99146733 -13.200073 56.806894
    Oben rechts KachelX + 1 60731 KachelY 40284 -0.23033680 0.99146733 -13.197327 56.806894
    Unten links KachelX 60730 KachelY + 1 40285 -0.23038474 0.99144108 -13.200073 56.805390
    Unten rechts KachelX + 1 60731 KachelY + 1 40285 -0.23033680 0.99144108 -13.197327 56.805390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99146733-0.99144108) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dl = 167.238750000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99146733-0.99144108) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dr = 167.238750000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23038474--0.23033680) × cos(0.99146733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547462544342353 × 6371000     		do = 167.209152728033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23038474--0.23033680) × cos(0.99144108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547484510946151 × 6371000     		du = 167.215861894254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99146733)-sin(0.99144108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547462544342353-0.547484510946151)×R²
    abs(-0.23033680--0.23038474)×2.19666037987176e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19666037987176e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19666037987176e-05×40589641000000     		ar = 27964.4107087173m²