Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60730 / 40254
↖ ↑ ↗
← N 56.851976°
W 13.200073°		 ← 167.01 m → N 56.851976°
W 13.197327°		 →
↑
166.98 m
↓
↑
166.98 m
↓
N 56.850474°
W 13.200073°		 ← 167.01 m →
27 888 m²		 N 56.850474°
W 13.197327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463336944580078 y=0.307117462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463336944580078 × 217)
    floor (0.463336944580078 × 131072)
    floor (60730.5)     		tx = 60730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307117462158203 × 217)
    floor (0.307117462158203 × 131072)
    floor (40254.5)     		ty = 40254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60730 / 40254 ti = "17/60730/40254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60730/40254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60730 ÷ 217
    60730 ÷ 131072     		x = 0.463333129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40254 ÷ 217
    40254 ÷ 131072     		y = 0.307113647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463333129882812 × 2 - 1) × π
    -0.073333740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23038474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307113647460938 × 2 - 1) × π
    0.385772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21194069619426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23038474} λ = -0.23038474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21194069619426))-π/2
    2×atan(3.35999906665646)-π/2
    2×1.28152524523993-π/2
    2.56305049047987-1.57079632675     		φ = 0.99225416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23038474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.200073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99225416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.851976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60730 KachelY 40254 -0.23038474 0.99225416 -13.200073 56.851976
    Oben rechts KachelX + 1 60731 KachelY 40254 -0.23033680 0.99225416 -13.197327 56.851976
    Unten links KachelX 60730 KachelY + 1 40255 -0.23038474 0.99222795 -13.200073 56.850474
    Unten rechts KachelX + 1 60731 KachelY + 1 40255 -0.23033680 0.99222795 -13.197327 56.850474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99225416-0.99222795) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dl = 166.983910000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99225416-0.99222795) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dr = 166.983910000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23038474--0.23033680) × cos(0.99225416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546803931846524 × 6371000     		do = 167.007995519121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23038474--0.23033680) × cos(0.99222795) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546825876261343 × 6371000     		du = 167.014697908256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99225416)-sin(0.99222795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546803931846524-0.546825876261343)×R²
    abs(-0.23033680--0.23038474)×2.19444148196191e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19444148196191e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19444148196191e-05×40589641000000     		ar = 27888.2076902614m²