Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60729 / 26505
↖ ↑ ↗
← N 72.494288°
W 13.202820°		 ← 91.87 m → N 72.494288°
W 13.200073°		 →
↑
91.87 m
↓
↑
91.87 m
↓
N 72.493462°
W 13.202820°		 ← 91.88 m →
8 440 m²		 N 72.493462°
W 13.200073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463329315185547 y=0.202220916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463329315185547 × 217)
    floor (0.463329315185547 × 131072)
    floor (60729.5)     		tx = 60729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202220916748047 × 217)
    floor (0.202220916748047 × 131072)
    floor (26505.5)     		ty = 26505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60729 / 26505 ti = "17/60729/26505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60729/26505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60729 ÷ 217
    60729 ÷ 131072     		x = 0.463325500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26505 ÷ 217
    26505 ÷ 131072     		y = 0.202217102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463325500488281 × 2 - 1) × π
    -0.0733489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23043268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202217102050781 × 2 - 1) × π
    0.595565795898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.87102512907041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23043268} λ = -0.23043268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87102512907041))-π/2
    2×atan(6.49495115094998)-π/2
    2×1.41803017336067-π/2
    2.83606034672135-1.57079632675     		φ = 1.26526402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23043268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.202820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26526402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.494288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60729 KachelY 26505 -0.23043268 1.26526402 -13.202820 72.494288
    Oben rechts KachelX + 1 60730 KachelY 26505 -0.23038474 1.26526402 -13.200073 72.494288
    Unten links KachelX 60729 KachelY + 1 26506 -0.23043268 1.26524960 -13.202820 72.493462
    Unten rechts KachelX + 1 60730 KachelY + 1 26506 -0.23038474 1.26524960 -13.200073 72.493462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26526402-1.26524960) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dl = 91.8698200004491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26526402-1.26524960) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dr = 91.8698200004491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23043268--0.23038474) × cos(1.26526402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300800871855313 × 6371000     		do = 91.8723288790472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23043268--0.23038474) × cos(1.26524960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300814623990137 × 6371000     		du = 91.8765291350024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26526402)-sin(1.26524960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300800871855313-0.300814623990137)×R²
    abs(-0.23038474--0.23043268)×1.37521348237413e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37521348237413e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37521348237413e-05×40589641000000     		ar = 8440.48725561628m²