Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60728 / 26399
↖ ↑ ↗
← N 72.581651°
W 13.205566°		 ← 91.41 m → N 72.581651°
W 13.202820°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
N 72.580828°
W 13.205566°		 ← 91.41 m →
8 357 m²		 N 72.580828°
W 13.202820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463321685791016 y=0.201412200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463321685791016 × 217)
    floor (0.463321685791016 × 131072)
    floor (60728.5)     		tx = 60728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201412200927734 × 217)
    floor (0.201412200927734 × 131072)
    floor (26399.5)     		ty = 26399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60728 / 26399 ti = "17/60728/26399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60728/26399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60728 ÷ 217
    60728 ÷ 131072     		x = 0.46331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26399 ÷ 217
    26399 ÷ 131072     		y = 0.201408386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23048061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201408386230469 × 2 - 1) × π
    0.597183227539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.87610644043014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23048061} λ = -0.23048061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87610644043014))-π/2
    2×atan(6.52803801114234)-π/2
    2×1.41879255577088-π/2
    2.83758511154176-1.57079632675     		φ = 1.26678878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23048061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26678878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.581651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60728 KachelY 26399 -0.23048061 1.26678878 -13.205566 72.581651
    Oben rechts KachelX + 1 60729 KachelY 26399 -0.23043268 1.26678878 -13.202820 72.581651
    Unten links KachelX 60728 KachelY + 1 26400 -0.23048061 1.26677443 -13.205566 72.580828
    Unten rechts KachelX + 1 60729 KachelY + 1 26400 -0.23043268 1.26677443 -13.202820 72.580828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26678878-1.26677443) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dl = 91.4238500003301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26678878-1.26677443) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dr = 91.4238500003301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23048061--0.23043268) × cos(1.26678878) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299346379010534 × 6371000     		do = 91.4090179678091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23048061--0.23043268) × cos(1.26677443) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299360070953427 × 6371000     		du = 91.4131989672854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26678878)-sin(1.26677443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299346379010534-0.299360070953427)×R²
    abs(-0.23043268--0.23048061)×1.36919428925242e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.36919428925242e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.36919428925242e-05×40589641000000     		ar = 8357.15546904253m²