Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60727 / 84343
↖ ↑ ↗
← S 45.811572°
W 13.208313°		 ← 212.89 m → S 45.811572°
W 13.205566°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
S 45.813486°
W 13.208313°		 ← 212.88 m →
45 314 m²		 S 45.813486°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463314056396484 y=0.643489837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463314056396484 × 217)
    floor (0.463314056396484 × 131072)
    floor (60727.5)     		tx = 60727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643489837646484 × 217)
    floor (0.643489837646484 × 131072)
    floor (84343.5)     		ty = 84343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60727 / 84343 ti = "17/60727/84343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60727/84343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60727 ÷ 217
    60727 ÷ 131072     		x = 0.463310241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84343 ÷ 217
    84343 ÷ 131072     		y = 0.643486022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463310241699219 × 2 - 1) × π
    -0.0733795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23052855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643486022949219 × 2 - 1) × π
    -0.286972045898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.901549271154396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23052855} λ = -0.23052855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901549271154396))-π/2
    2×atan(0.405940260775234)-π/2
    2×0.385616779021657-π/2
    0.771233558043315-1.57079632675     		φ = -0.79956277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23052855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.208313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79956277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.811572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60727 KachelY 84343 -0.23052855 -0.79956277 -13.208313 -45.811572
    Oben rechts KachelX + 1 60728 KachelY 84343 -0.23048061 -0.79956277 -13.205566 -45.811572
    Unten links KachelX 60727 KachelY + 1 84344 -0.23052855 -0.79959618 -13.208313 -45.813486
    Unten rechts KachelX + 1 60728 KachelY + 1 84344 -0.23048061 -0.79959618 -13.205566 -45.813486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79956277--0.79959618) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dl = 212.855110000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79956277--0.79959618) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dr = 212.855110000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23052855--0.23048061) × cos(-0.79956277) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.697020292346061 × 6371000     		do = 212.887938584796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23052855--0.23048061) × cos(-0.79959618) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.696996335269732 × 6371000     		du = 212.88062147703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79956277)-sin(-0.79959618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697020292346061-0.696996335269732)×R²
    abs(-0.23048061--0.23052855)×2.3957076328629e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3957076328629e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3957076328629e-05×40589641000000     		ar = 45313.5068475893m²