Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60726 / 33252
↖ ↑ ↗
← N 65.977798°
W 13.211060°		 ← 124.34 m → N 65.977798°
W 13.208313°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
N 65.976680°
W 13.211060°		 ← 124.34 m →
15 463 m²		 N 65.976680°
W 13.208313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463306427001953 y=0.253696441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463306427001953 × 217)
    floor (0.463306427001953 × 131072)
    floor (60726.5)     		tx = 60726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253696441650391 × 217)
    floor (0.253696441650391 × 131072)
    floor (33252.5)     		ty = 33252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60726 / 33252 ti = "17/60726/33252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60726/33252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60726 ÷ 217
    60726 ÷ 131072     		x = 0.463302612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33252 ÷ 217
    33252 ÷ 131072     		y = 0.253692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463302612304688 × 2 - 1) × π
    -0.073394775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23057649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.253692626953125 × 2 - 1) × π
    0.49261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54759486733389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23057649} λ = -0.23057649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54759486733389))-π/2
    2×atan(4.7001520879647)-π/2
    2×1.36116306746276-π/2
    2.72232613492552-1.57079632675     		φ = 1.15152981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23057649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.211060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15152981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.977798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60726 KachelY 33252 -0.23057649 1.15152981 -13.211060 65.977798
    Oben rechts KachelX + 1 60727 KachelY 33252 -0.23052855 1.15152981 -13.208313 65.977798
    Unten links KachelX 60726 KachelY + 1 33253 -0.23057649 1.15151029 -13.211060 65.976680
    Unten rechts KachelX + 1 60727 KachelY + 1 33253 -0.23052855 1.15151029 -13.208313 65.976680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15152981-1.15151029) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15152981-1.15151029) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23057649--0.23052855) × cos(1.15152981) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.407090608030068 × 6371000     		do = 124.335950204624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23057649--0.23052855) × cos(1.15151029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.407108437281978 × 6371000     		du = 124.341395717082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15152981)-sin(1.15151029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407090608030068-0.407108437281978)×R²
    abs(-0.23052855--0.23057649)×1.7829251909629e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7829251909629e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7829251909629e-05×40589641000000     		ar = 15462.9961000397m²