Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60723 / 41311
↖ ↑ ↗
← N 55.230589°
W 13.219299°		 ← 174.18 m → N 55.230589°
W 13.216553°		 →
↑
174.12 m
↓
↑
174.12 m
↓
N 55.229023°
W 13.219299°		 ← 174.18 m →
30 328 m²		 N 55.229023°
W 13.216553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463283538818359 y=0.315181732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463283538818359 × 217)
    floor (0.463283538818359 × 131072)
    floor (60723.5)     		tx = 60723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315181732177734 × 217)
    floor (0.315181732177734 × 131072)
    floor (41311.5)     		ty = 41311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60723 / 41311 ti = "17/60723/41311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60723/41311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60723 ÷ 217
    60723 ÷ 131072     		x = 0.463279724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41311 ÷ 217
    41311 ÷ 131072     		y = 0.315177917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463279724121094 × 2 - 1) × π
    -0.0734405517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23072030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315177917480469 × 2 - 1) × π
    0.369644165039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.16127139329586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23072030} λ = -0.23072030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16127139329586))-π/2
    2×atan(3.19399151515998)-π/2
    2×1.2673759797727-π/2
    2.5347519595454-1.57079632675     		φ = 0.96395563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23072030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.219299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96395563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.230589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60723 KachelY 41311 -0.23072030 0.96395563 -13.219299 55.230589
    Oben rechts KachelX + 1 60724 KachelY 41311 -0.23067236 0.96395563 -13.216553 55.230589
    Unten links KachelX 60723 KachelY + 1 41312 -0.23072030 0.96392830 -13.219299 55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 60724 KachelY + 1 41312 -0.23067236 0.96392830 -13.216553 55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96395563-0.96392830) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dl = 174.11942999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96395563-0.96392830) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dr = 174.11942999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23072030--0.23067236) × cos(0.96395563) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570275088849354 × 6371000     		do = 174.176691015366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23072030--0.23067236) × cos(0.96392830) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570297538968353 × 6371000     		du = 174.183547859575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96395563)-sin(0.96392830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570275088849354-0.570297538968353)×R²
    abs(-0.23067236--0.23072030)×2.24501189994841e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24501189994841e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24501189994841e-05×40589641000000     		ar = 30328.1431156604m²