Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60722 / 40275
↖ ↑ ↗
← N 56.820424°
W 13.222046°		 ← 167.11 m → N 56.820424°
W 13.219299°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
N 56.818920°
W 13.222046°		 ← 167.12 m →
27 938 m²		 N 56.818920°
W 13.219299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463275909423828 y=0.307277679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463275909423828 × 217)
    floor (0.463275909423828 × 131072)
    floor (60722.5)     		tx = 60722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307277679443359 × 217)
    floor (0.307277679443359 × 131072)
    floor (40275.5)     		ty = 40275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60722 / 40275 ti = "17/60722/40275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60722/40275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60722 ÷ 217
    60722 ÷ 131072     		x = 0.463272094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40275 ÷ 217
    40275 ÷ 131072     		y = 0.307273864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463272094726562 × 2 - 1) × π
    -0.073455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23076823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307273864746094 × 2 - 1) × π
    0.385452270507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21093402130224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23076823} λ = -0.23076823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21093402130224))-π/2
    2×atan(3.35661834188972)-π/2
    2×1.28124990234088-π/2
    2.56249980468177-1.57079632675     		φ = 0.99170348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23076823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.222046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99170348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.820424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60722 KachelY 40275 -0.23076823 0.99170348 -13.222046 56.820424
    Oben rechts KachelX + 1 60723 KachelY 40275 -0.23072030 0.99170348 -13.219299 56.820424
    Unten links KachelX 60722 KachelY + 1 40276 -0.23076823 0.99167724 -13.222046 56.818920
    Unten rechts KachelX + 1 60723 KachelY + 1 40276 -0.23072030 0.99167724 -13.219299 56.818920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99170348-0.99167724) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dl = 167.175039999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99170348-0.99167724) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dr = 167.175039999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23076823--0.23072030) × cos(0.99170348) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547264911630312 × 6371000     		do = 167.113924363208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23076823--0.23072030) × cos(0.99167724) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547286873257802 × 6371000     		du = 167.120630610361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99170348)-sin(0.99167724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547264911630312-0.547286873257802)×R²
    abs(-0.23072030--0.23076823)×2.19616274895751e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19616274895751e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19616274895751e-05×40589641000000     		ar = 27937.8375500368m²