Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60722 / 26385
↖ ↑ ↗
← N 72.593158°
W 13.222046°		 ← 91.35 m → N 72.593158°
W 13.219299°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.592336°
W 13.222046°		 ← 91.35 m →
8 346 m²		 N 72.592336°
W 13.219299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463275909423828 y=0.201305389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463275909423828 × 217)
    floor (0.463275909423828 × 131072)
    floor (60722.5)     		tx = 60722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201305389404297 × 217)
    floor (0.201305389404297 × 131072)
    floor (26385.5)     		ty = 26385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60722 / 26385 ti = "17/60722/26385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60722/26385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60722 ÷ 217
    60722 ÷ 131072     		x = 0.463272094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26385 ÷ 217
    26385 ÷ 131072     		y = 0.201301574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463272094726562 × 2 - 1) × π
    -0.073455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23076823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201301574707031 × 2 - 1) × π
    0.597396850585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.87677755702482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23076823} λ = -0.23076823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87677755702482))-π/2
    2×atan(6.53242055621719)-π/2
    2×1.4188929717762-π/2
    2.83778594355241-1.57079632675     		φ = 1.26698962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23076823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.222046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26698962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.593158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60722 KachelY 26385 -0.23076823 1.26698962 -13.222046 72.593158
    Oben rechts KachelX + 1 60723 KachelY 26385 -0.23072030 1.26698962 -13.219299 72.593158
    Unten links KachelX 60722 KachelY + 1 26386 -0.23076823 1.26697528 -13.222046 72.592336
    Unten rechts KachelX + 1 60723 KachelY + 1 26386 -0.23072030 1.26697528 -13.219299 72.592336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26698962-1.26697528) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dl = 91.3601399993027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26698962-1.26697528) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dr = 91.3601399993027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23076823--0.23072030) × cos(1.26698962) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299154742591173 × 6371000     		do = 91.350499481771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23076823--0.23072030) × cos(1.26697528) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299168425854538 × 6371000     		du = 91.3546778308492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26698962)-sin(1.26697528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299154742591173-0.299168425854538)×R²
    abs(-0.23072030--0.23076823)×1.36832633652051e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.36832633652051e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.36832633652051e-05×40589641000000     		ar = 8345.98528923931m²