Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60722 / 26239
↖ ↑ ↗
← N 72.712719°
W 13.222046°		 ← 90.74 m → N 72.712719°
W 13.219299°		 →
↑
90.79 m
↓
↑
90.79 m
↓
N 72.711903°
W 13.222046°		 ← 90.75 m →
8 238 m²		 N 72.711903°
W 13.219299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463275909423828 y=0.200191497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463275909423828 × 217)
    floor (0.463275909423828 × 131072)
    floor (60722.5)     		tx = 60722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200191497802734 × 217)
    floor (0.200191497802734 × 131072)
    floor (26239.5)     		ty = 26239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60722 / 26239 ti = "17/60722/26239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60722/26239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60722 ÷ 217
    60722 ÷ 131072     		x = 0.463272094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26239 ÷ 217
    26239 ÷ 131072     		y = 0.200187683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463272094726562 × 2 - 1) × π
    -0.073455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23076823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200187683105469 × 2 - 1) × π
    0.599624633789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.88377634436935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23076823} λ = -0.23076823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88377634436935))-π/2
    2×atan(6.57829994128922)-π/2
    2×1.41993634340006-π/2
    2.83987268680011-1.57079632675     		φ = 1.26907636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23076823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.222046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26907636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.712719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60722 KachelY 26239 -0.23076823 1.26907636 -13.222046 72.712719
    Oben rechts KachelX + 1 60723 KachelY 26239 -0.23072030 1.26907636 -13.219299 72.712719
    Unten links KachelX 60722 KachelY + 1 26240 -0.23076823 1.26906211 -13.222046 72.711903
    Unten rechts KachelX + 1 60723 KachelY + 1 26240 -0.23072030 1.26906211 -13.219299 72.711903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26907636-1.26906211) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dl = 90.7867499999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26907636-1.26906211) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dr = 90.7867499999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23076823--0.23072030) × cos(1.26907636) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.297162915773935 × 6371000     		do = 90.7422712014508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23076823--0.23072030) × cos(1.26906211) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.29717652202554 × 6371000     		du = 90.7464260340616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26907636)-sin(1.26906211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297162915773935-0.29717652202554)×R²
    abs(-0.23072030--0.23076823)×1.36062516050139e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.36062516050139e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.36062516050139e-05×40589641000000     		ar = 8238.38449184595m²