Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60721 / 41310
↖ ↑ ↗
← N 55.232156°
W 13.224792°		 ← 174.17 m → N 55.232156°
W 13.222046°		 →
↑
174.18 m
↓
↑
174.18 m
↓
N 55.230589°
W 13.224792°		 ← 174.18 m →
30 338 m²		 N 55.230589°
W 13.222046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463268280029297 y=0.315174102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463268280029297 × 217)
    floor (0.463268280029297 × 131072)
    floor (60721.5)     		tx = 60721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315174102783203 × 217)
    floor (0.315174102783203 × 131072)
    floor (41310.5)     		ty = 41310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60721 / 41310 ti = "17/60721/41310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60721/41310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60721 ÷ 217
    60721 ÷ 131072     		x = 0.463264465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41310 ÷ 217
    41310 ÷ 131072     		y = 0.315170288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463264465332031 × 2 - 1) × π
    -0.0734710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23081617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315170288085938 × 2 - 1) × π
    0.369659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16131933019548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23081617} λ = -0.23081617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16131933019548))-π/2
    2×atan(3.1941446288805)-π/2
    2×1.26738964811337-π/2
    2.53477929622674-1.57079632675     		φ = 0.96398297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23081617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.224792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96398297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.232156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60721 KachelY 41310 -0.23081617 0.96398297 -13.224792 55.232156
    Oben rechts KachelX + 1 60722 KachelY 41310 -0.23076823 0.96398297 -13.222046 55.232156
    Unten links KachelX 60721 KachelY + 1 41311 -0.23081617 0.96395563 -13.224792 55.230589
    Unten rechts KachelX + 1 60722 KachelY + 1 41311 -0.23076823 0.96395563 -13.222046 55.230589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96398297-0.96395563) × R
    2.73400000000423e-05 × 6371000     		dl = 174.18314000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96398297-0.96395563) × R
    2.73400000000423e-05 × 6371000     		dr = 174.18314000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23081617--0.23076823) × cos(0.96398297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570252630089706 × 6371000     		do = 174.169831532081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23081617--0.23076823) × cos(0.96395563) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570275088849354 × 6371000     		du = 174.176691015366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96398297)-sin(0.96395563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570252630089706-0.570275088849354)×R²
    abs(-0.23076823--0.23081617)×2.24587596482362e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24587596482362e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24587596482362e-05×40589641000000     		ar = 30338.0455546554m²