Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60720 / 40593
↖ ↑ ↗
← N 56.339379°
W 13.227539°		 ← 169.29 m → N 56.339379°
W 13.224792°		 →
↑
169.28 m
↓
↑
169.28 m
↓
N 56.337857°
W 13.227539°		 ← 169.30 m →
28 657 m²		 N 56.337857°
W 13.224792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463260650634766 y=0.309703826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463260650634766 × 217)
    floor (0.463260650634766 × 131072)
    floor (60720.5)     		tx = 60720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309703826904297 × 217)
    floor (0.309703826904297 × 131072)
    floor (40593.5)     		ty = 40593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60720 / 40593 ti = "17/60720/40593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60720/40593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60720 ÷ 217
    60720 ÷ 131072     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40593 ÷ 217
    40593 ÷ 131072     		y = 0.309700012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309700012207031 × 2 - 1) × π
    0.380599975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19569008722306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19569008722306))-π/2
    2×atan(3.30583830030147)-π/2
    2×1.27705199337742-π/2
    2.55410398675485-1.57079632675     		φ = 0.98330766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98330766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.339379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60720 KachelY 40593 -0.23086411 0.98330766 -13.227539 56.339379
    Oben rechts KachelX + 1 60721 KachelY 40593 -0.23081617 0.98330766 -13.224792 56.339379
    Unten links KachelX 60720 KachelY + 1 40594 -0.23086411 0.98328109 -13.227539 56.337857
    Unten rechts KachelX + 1 60721 KachelY + 1 40594 -0.23081617 0.98328109 -13.224792 56.337857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98330766-0.98328109) × R
    2.6570000000059e-05 × 6371000     		dl = 169.277470000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98330766-0.98328109) × R
    2.6570000000059e-05 × 6371000     		dr = 169.277470000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23081617) × cos(0.98330766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55427250176097 × 6371000     		do = 169.28908901208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23081617) × cos(0.98328109) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554294616713317 × 6371000     		du = 169.295843487766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98330766)-sin(0.98328109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55427250176097-0.554294616713317)×R²
    abs(-0.23081617--0.23086411)×2.21149523469411e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21149523469411e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21149523469411e-05×40589641000000     		ar = 28657.4003786338m²