Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60718 / 41306
↖ ↑ ↗
← N 55.238420°
W 13.233032°		 ← 174.11 m → N 55.238420°
W 13.230286°		 →
↑
174.18 m
↓
↑
174.18 m
↓
N 55.236854°
W 13.233032°		 ← 174.11 m →
30 327 m²		 N 55.236854°
W 13.230286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463245391845703 y=0.315143585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463245391845703 × 217)
    floor (0.463245391845703 × 131072)
    floor (60718.5)     		tx = 60718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315143585205078 × 217)
    floor (0.315143585205078 × 131072)
    floor (41306.5)     		ty = 41306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60718 / 41306 ti = "17/60718/41306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60718/41306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60718 ÷ 217
    60718 ÷ 131072     		x = 0.463241577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41306 ÷ 217
    41306 ÷ 131072     		y = 0.315139770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463241577148438 × 2 - 1) × π
    -0.073516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23095998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315139770507812 × 2 - 1) × π
    0.369720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16151107779396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23095998} λ = -0.23095998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16151107779396))-π/2
    2×atan(3.19475715716582)-π/2
    2×1.26744431609386-π/2
    2.53488863218772-1.57079632675     		φ = 0.96409231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23095998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.233032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96409231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.238420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60718 KachelY 41306 -0.23095998 0.96409231 -13.233032 55.238420
    Oben rechts KachelX + 1 60719 KachelY 41306 -0.23091205 0.96409231 -13.230286 55.238420
    Unten links KachelX 60718 KachelY + 1 41307 -0.23095998 0.96406497 -13.233032 55.236854
    Unten rechts KachelX + 1 60719 KachelY + 1 41307 -0.23091205 0.96406497 -13.230286 55.236854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96409231-0.96406497) × R
    2.73399999999313e-05 × 6371000     		dl = 174.183139999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96409231-0.96406497) × R
    2.73399999999313e-05 × 6371000     		dr = 174.183139999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23095998--0.23091205) × cos(0.96409231) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.570162807219416 × 6371000     		do = 174.106072243025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23095998--0.23091205) × cos(0.96406497) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.570185267683652 × 6371000     		du = 174.112930815979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96409231)-sin(0.96406497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570162807219416-0.570185267683652)×R²
    abs(-0.23091205--0.23095998)×2.24604642352633e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24604642352633e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24604642352633e-05×40589641000000     		ar = 30326.9396820286m²