Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60718 / 27026
↖ ↑ ↗
← N 72.058689°
W 13.233032°		 ← 94.06 m → N 72.058689°
W 13.230286°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 72.057842°
W 13.233032°		 ← 94.07 m →
8 852 m²		 N 72.057842°
W 13.230286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463245391845703 y=0.206195831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463245391845703 × 217)
    floor (0.463245391845703 × 131072)
    floor (60718.5)     		tx = 60718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206195831298828 × 217)
    floor (0.206195831298828 × 131072)
    floor (27026.5)     		ty = 27026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60718 / 27026 ti = "17/60718/27026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60718/27026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60718 ÷ 217
    60718 ÷ 131072     		x = 0.463241577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27026 ÷ 217
    27026 ÷ 131072     		y = 0.206192016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463241577148438 × 2 - 1) × π
    -0.073516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23095998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206192016601562 × 2 - 1) × π
    0.587615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84605000436836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23095998} λ = -0.23095998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84605000436836))-π/2
    2×atan(6.33474781244072)-π/2
    2×1.41422884856572-π/2
    2.82845769713145-1.57079632675     		φ = 1.25766137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23095998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.233032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25766137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.058689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60718 KachelY 27026 -0.23095998 1.25766137 -13.233032 72.058689
    Oben rechts KachelX + 1 60719 KachelY 27026 -0.23091205 1.25766137 -13.230286 72.058689
    Unten links KachelX 60718 KachelY + 1 27027 -0.23095998 1.25764660 -13.233032 72.057842
    Unten rechts KachelX + 1 60719 KachelY + 1 27027 -0.23091205 1.25764660 -13.230286 72.057842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25766137-1.25764660) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25766137-1.25764660) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23095998--0.23091205) × cos(1.25766137) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.308042657099189 × 6371000     		do = 94.0645310984055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23095998--0.23091205) × cos(1.25764660) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.308056708838094 × 6371000     		du = 94.0688219659224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25766137)-sin(1.25764660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308042657099189-0.308056708838094)×R²
    abs(-0.23091205--0.23095998)×1.40517389046191e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.40517389046191e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.40517389046191e-05×40589641000000     		ar = 8851.64321996327m²