Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60717 / 26391
↖ ↑ ↗
← N 72.588227°
W 13.235779°		 ← 91.39 m → N 72.588227°
W 13.233032°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.587405°
W 13.235779°		 ← 91.40 m →
8 350 m²		 N 72.587405°
W 13.233032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463237762451172 y=0.201351165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463237762451172 × 217)
    floor (0.463237762451172 × 131072)
    floor (60717.5)     		tx = 60717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201351165771484 × 217)
    floor (0.201351165771484 × 131072)
    floor (26391.5)     		ty = 26391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60717 / 26391 ti = "17/60717/26391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60717/26391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60717 ÷ 217
    60717 ÷ 131072     		x = 0.463233947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26391 ÷ 217
    26391 ÷ 131072     		y = 0.201347351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463233947753906 × 2 - 1) × π
    -0.0735321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23100792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201347351074219 × 2 - 1) × π
    0.597305297851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.8764899356271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23100792} λ = -0.23100792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8764899356271))-π/2
    2×atan(6.53054196246115)-π/2
    2×1.41884994421903-π/2
    2.83769988843807-1.57079632675     		φ = 1.26690356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23100792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.235779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26690356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.588227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60717 KachelY 26391 -0.23100792 1.26690356 -13.235779 72.588227
    Oben rechts KachelX + 1 60718 KachelY 26391 -0.23095998 1.26690356 -13.233032 72.588227
    Unten links KachelX 60717 KachelY + 1 26392 -0.23100792 1.26688922 -13.235779 72.587405
    Unten rechts KachelX + 1 60718 KachelY + 1 26392 -0.23095998 1.26688922 -13.233032 72.587405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26690356-1.26688922) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dl = 91.3601400007174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26690356-1.26688922) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dr = 91.3601400007174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23100792--0.23095998) × cos(1.26690356) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.29923686033209 × 6371000     		do = 91.3946395021983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23100792--0.23095998) × cos(1.26688922) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.29925054322621 × 6371000     		du = 91.3988186102601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26690356)-sin(1.26688922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29923686033209-0.29925054322621)×R²
    abs(-0.23095998--0.23100792)×1.3682894119349e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3682894119349e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3682894119349e-05×40589641000000     		ar = 8350.01796226678m²