Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60716 / 40204
↖ ↑ ↗
← N 56.926992°
W 13.238526°		 ← 166.67 m → N 56.926992°
W 13.235779°		 →
↑
166.67 m
↓
↑
166.67 m
↓
N 56.925494°
W 13.238526°		 ← 166.68 m →
27 779 m²		 N 56.925494°
W 13.235779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463230133056641 y=0.306735992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463230133056641 × 217)
    floor (0.463230133056641 × 131072)
    floor (60716.5)     		tx = 60716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306735992431641 × 217)
    floor (0.306735992431641 × 131072)
    floor (40204.5)     		ty = 40204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60716 / 40204 ti = "17/60716/40204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60716/40204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60716 ÷ 217
    60716 ÷ 131072     		x = 0.463226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40204 ÷ 217
    40204 ÷ 131072     		y = 0.306732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306732177734375 × 2 - 1) × π
    0.38653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21433754117526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23105586} λ = -0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21433754117526))-π/2
    2×atan(3.36806212264309)-π/2
    2×1.2821798900936-π/2
    2.56435978018721-1.57079632675     		φ = 0.99356345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99356345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.926992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60716 KachelY 40204 -0.23105586 0.99356345 -13.238526 56.926992
    Oben rechts KachelX + 1 60717 KachelY 40204 -0.23100792 0.99356345 -13.235779 56.926992
    Unten links KachelX 60716 KachelY + 1 40205 -0.23105586 0.99353729 -13.238526 56.925494
    Unten rechts KachelX + 1 60717 KachelY + 1 40205 -0.23100792 0.99353729 -13.235779 56.925494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99356345-0.99353729) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dl = 166.665359999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99356345-0.99353729) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dr = 166.665359999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23105586--0.23100792) × cos(0.99356345) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545707246436577 × 6371000     		do = 166.673039566241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23105586--0.23100792) × cos(0.99353729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545729167699271 × 6371000     		du = 166.679734884121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99356345)-sin(0.99353729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545707246436577-0.545729167699271)×R²
    abs(-0.23100792--0.23105586)×2.1921262693736e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1921262693736e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1921262693736e-05×40589641000000     		ar = 27779.1800820043m²