Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60715 / 40206
↖ ↑ ↗
← N 56.923995°
W 13.241272°		 ← 166.65 m → N 56.923995°
W 13.238526°		 →
↑
166.67 m
↓
↑
166.67 m
↓
N 56.922496°
W 13.241272°		 ← 166.66 m →
27 776 m²		 N 56.922496°
W 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463222503662109 y=0.306751251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463222503662109 × 217)
    floor (0.463222503662109 × 131072)
    floor (60715.5)     		tx = 60715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306751251220703 × 217)
    floor (0.306751251220703 × 131072)
    floor (40206.5)     		ty = 40206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60715 / 40206 ti = "17/60715/40206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60715/40206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60715 ÷ 217
    60715 ÷ 131072     		x = 0.463218688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40206 ÷ 217
    40206 ÷ 131072     		y = 0.306747436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463218688964844 × 2 - 1) × π
    -0.0735626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23110379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306747436523438 × 2 - 1) × π
    0.386505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21424166737602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23110379} λ = -0.23110379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21424166737602))-π/2
    2×atan(3.36773922921007)-π/2
    2×1.2821537295294-π/2
    2.5643074590588-1.57079632675     		φ = 0.99351113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23110379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.241272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99351113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.923995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60715 KachelY 40206 -0.23110379 0.99351113 -13.241272 56.923995
    Oben rechts KachelX + 1 60716 KachelY 40206 -0.23105586 0.99351113 -13.238526 56.923995
    Unten links KachelX 60715 KachelY + 1 40207 -0.23110379 0.99348497 -13.241272 56.922496
    Unten rechts KachelX + 1 60716 KachelY + 1 40207 -0.23105586 0.99348497 -13.238526 56.922496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99351113-0.99348497) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dl = 166.665359999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99351113-0.99348497) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dr = 166.665359999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23110379--0.23105586) × cos(0.99351113) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.545751088588497 × 6371000     		do = 166.651660286099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23110379--0.23105586) × cos(0.99348497) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.545773009104241 × 6371000     		du = 166.658353979285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99351113)-sin(0.99348497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545751088588497-0.545773009104241)×R²
    abs(-0.23105586--0.23110379)×2.19205157440117e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19205157440117e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19205157440117e-05×40589641000000     		ar = 27775.6167611602m²