Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60715 / 33862
↖ ↑ ↗
← N 65.286579°
W 13.241272°		 ← 127.67 m → N 65.286579°
W 13.238526°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 65.285431°
W 13.241272°		 ← 127.67 m →
16 300 m²		 N 65.285431°
W 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463222503662109 y=0.258350372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463222503662109 × 217)
    floor (0.463222503662109 × 131072)
    floor (60715.5)     		tx = 60715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258350372314453 × 217)
    floor (0.258350372314453 × 131072)
    floor (33862.5)     		ty = 33862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60715 / 33862 ti = "17/60715/33862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60715/33862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60715 ÷ 217
    60715 ÷ 131072     		x = 0.463218688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33862 ÷ 217
    33862 ÷ 131072     		y = 0.258346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463218688964844 × 2 - 1) × π
    -0.0735626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23110379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258346557617188 × 2 - 1) × π
    0.483306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51835335856566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23110379} λ = -0.23110379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51835335856566))-π/2
    2×atan(4.56470257491753)-π/2
    2×1.35513104347062-π/2
    2.71026208694123-1.57079632675     		φ = 1.13946576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23110379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.241272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13946576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.286579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60715 KachelY 33862 -0.23110379 1.13946576 -13.241272 65.286579
    Oben rechts KachelX + 1 60716 KachelY 33862 -0.23105586 1.13946576 -13.238526 65.286579
    Unten links KachelX 60715 KachelY + 1 33863 -0.23110379 1.13944572 -13.241272 65.285431
    Unten rechts KachelX + 1 60716 KachelY + 1 33863 -0.23105586 1.13944572 -13.238526 65.285431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13946576-1.13944572) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dl = 127.674839999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13946576-1.13944572) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dr = 127.674839999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23110379--0.23105586) × cos(1.13946576) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418079872700913 × 6371000     		do = 127.665718630097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23110379--0.23105586) × cos(1.13944572) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418098077158787 × 6371000     		du = 127.671277580308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13946576)-sin(1.13944572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418079872700913-0.418098077158787)×R²
    abs(-0.23105586--0.23110379)×1.82044578741491e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82044578741491e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82044578741491e-05×40589641000000     		ar = 16300.0550690092m²