Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60714 / 40663
↖ ↑ ↗
← N 56.232665°
W 13.244019°		 ← 169.76 m → N 56.232665°
W 13.241272°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
N 56.231139°
W 13.244019°		 ← 169.77 m →
28 813 m²		 N 56.231139°
W 13.241272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463214874267578 y=0.310237884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463214874267578 × 217)
    floor (0.463214874267578 × 131072)
    floor (60714.5)     		tx = 60714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310237884521484 × 217)
    floor (0.310237884521484 × 131072)
    floor (40663.5)     		ty = 40663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60714 / 40663 ti = "17/60714/40663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60714/40663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60714 ÷ 217
    60714 ÷ 131072     		x = 0.463211059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40663 ÷ 217
    40663 ÷ 131072     		y = 0.310234069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463211059570312 × 2 - 1) × π
    -0.073577880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23115173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310234069824219 × 2 - 1) × π
    0.379531860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.19233450424966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23115173} λ = -0.23115173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19233450424966))-π/2
    2×atan(3.29476387655348)-π/2
    2×1.27612074035435-π/2
    2.5522414807087-1.57079632675     		φ = 0.98144515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23115173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.244019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98144515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.232665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60714 KachelY 40663 -0.23115173 0.98144515 -13.244019 56.232665
    Oben rechts KachelX + 1 60715 KachelY 40663 -0.23110379 0.98144515 -13.241272 56.232665
    Unten links KachelX 60714 KachelY + 1 40664 -0.23115173 0.98141851 -13.244019 56.231139
    Unten rechts KachelX + 1 60715 KachelY + 1 40664 -0.23110379 0.98141851 -13.241272 56.231139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98144515-0.98141851) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dl = 169.723439999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98144515-0.98141851) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dr = 169.723439999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23115173--0.23110379) × cos(0.98144515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555821772249869 × 6371000     		do = 169.762276097515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23115173--0.23110379) × cos(0.98141851) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555843917924172 × 6371000     		du = 169.769039956477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98144515)-sin(0.98141851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555821772249869-0.555843917924172)×R²
    abs(-0.23110379--0.23115173)×2.21456743036974e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21456743036974e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21456743036974e-05×40589641000000     		ar = 28813.2114759172m²