Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60712 / 26200
↖ ↑ ↗
← N 72.744522°
W 13.249512°		 ← 90.58 m → N 72.744522°
W 13.246765°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
N 72.743707°
W 13.249512°		 ← 90.58 m →
8 206 m²		 N 72.743707°
W 13.246765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463199615478516 y=0.199893951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463199615478516 × 217)
    floor (0.463199615478516 × 131072)
    floor (60712.5)     		tx = 60712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199893951416016 × 217)
    floor (0.199893951416016 × 131072)
    floor (26200.5)     		ty = 26200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60712 / 26200 ti = "17/60712/26200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60712/26200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60712 ÷ 217
    60712 ÷ 131072     		x = 0.46319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26200 ÷ 217
    26200 ÷ 131072     		y = 0.19989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23124760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19989013671875 × 2 - 1) × π
    0.6002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88564588345453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23124760} λ = -0.23124760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88564588345453))-π/2
    2×atan(6.59060983347036)-π/2
    2×1.42021387444654-π/2
    2.84042774889309-1.57079632675     		φ = 1.26963142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23124760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.249512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26963142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.744522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60712 KachelY 26200 -0.23124760 1.26963142 -13.249512 72.744522
    Oben rechts KachelX + 1 60713 KachelY 26200 -0.23119967 1.26963142 -13.246765 72.744522
    Unten links KachelX 60712 KachelY + 1 26201 -0.23124760 1.26961720 -13.249512 72.743707
    Unten rechts KachelX + 1 60713 KachelY + 1 26201 -0.23119967 1.26961720 -13.246765 72.743707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26963142-1.26961720) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dl = 90.5956200011198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26963142-1.26961720) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dr = 90.5956200011198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23124760--0.23119967) × cos(1.26963142) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.296632883865641 × 6371000     		do = 90.5804195819694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23124760--0.23119967) × cos(1.26961720) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.296646463816024 × 6371000     		du = 90.5845663831857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26963142)-sin(1.26961720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296632883865641-0.296646463816024)×R²
    abs(-0.23119967--0.23124760)×1.35799503832024e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.35799503832024e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.35799503832024e-05×40589641000000     		ar = 8206.37711315007m²