Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60709 / 33896
↖ ↑ ↗
← N 65.247508°
W 13.257751°		 ← 127.85 m → N 65.247508°
W 13.255005°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 65.246358°
W 13.257751°		 ← 127.86 m →
16 357 m²		 N 65.246358°
W 13.255005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463176727294922 y=0.258609771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463176727294922 × 217)
    floor (0.463176727294922 × 131072)
    floor (60709.5)     		tx = 60709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258609771728516 × 217)
    floor (0.258609771728516 × 131072)
    floor (33896.5)     		ty = 33896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60709 / 33896 ti = "17/60709/33896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60709/33896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60709 ÷ 217
    60709 ÷ 131072     		x = 0.463172912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33896 ÷ 217
    33896 ÷ 131072     		y = 0.25860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463172912597656 × 2 - 1) × π
    -0.0736541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23139141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25860595703125 × 2 - 1) × π
    0.4827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23139141} λ = -0.23139141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51672350397858))-π/2
    2×atan(4.55726883309184)-π/2
    2×1.35479008645376-π/2
    2.70958017290752-1.57079632675     		φ = 1.13878385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23139141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.257751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13878385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.247508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60709 KachelY 33896 -0.23139141 1.13878385 -13.257751 65.247508
    Oben rechts KachelX + 1 60710 KachelY 33896 -0.23134348 1.13878385 -13.255005 65.247508
    Unten links KachelX 60709 KachelY + 1 33897 -0.23139141 1.13876377 -13.257751 65.246358
    Unten rechts KachelX + 1 60710 KachelY + 1 33897 -0.23134348 1.13876377 -13.255005 65.246358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13878385-1.13876377) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13878385-1.13876377) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23139141--0.23134348) × cos(1.13878385) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418699229496819 × 6371000     		do = 127.854846678589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23139141--0.23134348) × cos(1.13876377) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418717464561739 × 6371000     		du = 127.86041497503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13878385)-sin(1.13876377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418699229496819-0.418717464561739)×R²
    abs(-0.23134348--0.23139141)×1.82350649198804e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82350649198804e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82350649198804e-05×40589641000000     		ar = 16356.7857978314m²