Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60709 / 33869
↖ ↑ ↗
← N 65.278540°
W 13.257751°		 ← 127.70 m → N 65.278540°
W 13.255005°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 65.277391°
W 13.257751°		 ← 127.71 m →
16 313 m²		 N 65.277391°
W 13.255005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463176727294922 y=0.258403778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463176727294922 × 217)
    floor (0.463176727294922 × 131072)
    floor (60709.5)     		tx = 60709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258403778076172 × 217)
    floor (0.258403778076172 × 131072)
    floor (33869.5)     		ty = 33869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60709 / 33869 ti = "17/60709/33869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60709/33869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60709 ÷ 217
    60709 ÷ 131072     		x = 0.463172912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33869 ÷ 217
    33869 ÷ 131072     		y = 0.258399963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463172912597656 × 2 - 1) × π
    -0.0736541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23139141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258399963378906 × 2 - 1) × π
    0.483200073242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.51801780026832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23139141} λ = -0.23139141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51801780026832))-π/2
    2×atan(4.5631711080562)-π/2
    2×1.35506088769369-π/2
    2.71012177538738-1.57079632675     		φ = 1.13932545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23139141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.257751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13932545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.278540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60709 KachelY 33869 -0.23139141 1.13932545 -13.257751 65.278540
    Oben rechts KachelX + 1 60710 KachelY 33869 -0.23134348 1.13932545 -13.255005 65.278540
    Unten links KachelX 60709 KachelY + 1 33870 -0.23139141 1.13930540 -13.257751 65.277391
    Unten rechts KachelX + 1 60710 KachelY + 1 33870 -0.23134348 1.13930540 -13.255005 65.277391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13932545-1.13930540) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13932545-1.13930540) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23139141--0.23134348) × cos(1.13932545) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418207327630239 × 6371000     		do = 127.704638526049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23139141--0.23134348) × cos(1.13930540) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418225539995779 × 6371000     		du = 127.710199890961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13932545)-sin(1.13930540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418207327630239-0.418225539995779)×R²
    abs(-0.23134348--0.23139141)×1.82123655395605e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82123655395605e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82123655395605e-05×40589641000000     		ar = 16313.1605544188m²