Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60708 / 84284
↖ ↑ ↗
← S 45.698506°
W 13.260498°		 ← 213.32 m → S 45.698506°
W 13.257751°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 45.700425°
W 13.260498°		 ← 213.31 m →
45 501 m²		 S 45.700425°
W 13.257751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463169097900391 y=0.643039703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463169097900391 × 217)
    floor (0.463169097900391 × 131072)
    floor (60708.5)     		tx = 60708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643039703369141 × 217)
    floor (0.643039703369141 × 131072)
    floor (84284.5)     		ty = 84284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60708 / 84284 ti = "17/60708/84284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60708/84284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60708 ÷ 217
    60708 ÷ 131072     		x = 0.463165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84284 ÷ 217
    84284 ÷ 131072     		y = 0.643035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.07366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23143935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.28607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.898720994076813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23143935} λ = -0.23143935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898720994076813))-π/2
    2×atan(0.407089997430156)-π/2
    2×0.386603461809296-π/2
    0.773206923618591-1.57079632675     		φ = -0.79758940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23143935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.260498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79758940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.698506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60708 KachelY 84284 -0.23143935 -0.79758940 -13.260498 -45.698506
    Oben rechts KachelX + 1 60709 KachelY 84284 -0.23139141 -0.79758940 -13.257751 -45.698506
    Unten links KachelX 60708 KachelY + 1 84285 -0.23143935 -0.79762288 -13.260498 -45.700425
    Unten rechts KachelX + 1 60709 KachelY + 1 84285 -0.23139141 -0.79762288 -13.257751 -45.700425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79758940--0.79762288) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dl = 213.301080000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79758940--0.79762288) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dr = 213.301080000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23143935--0.23139141) × cos(-0.79758940) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698433941987401 × 6371000     		do = 213.319703572603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23143935--0.23139141) × cos(-0.79762288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698409980812799 × 6371000     		du = 213.312385213119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79758940)-sin(-0.79762288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698433941987401-0.698409980812799)×R²
    abs(-0.23139141--0.23143935)×2.39611746023494e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39611746023494e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39611746023494e-05×40589641000000     		ar = 45500.5426546697m²