Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60707 / 84323
↖ ↑ ↗
← S 45.773271°
W 13.263245°		 ← 213.03 m → S 45.773271°
W 13.260498°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
S 45.775186°
W 13.263245°		 ← 213.03 m →
45 372 m²		 S 45.775186°
W 13.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463161468505859 y=0.643337249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463161468505859 × 217)
    floor (0.463161468505859 × 131072)
    floor (60707.5)     		tx = 60707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643337249755859 × 217)
    floor (0.643337249755859 × 131072)
    floor (84323.5)     		ty = 84323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60707 / 84323 ti = "17/60707/84323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60707/84323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60707 ÷ 217
    60707 ÷ 131072     		x = 0.463157653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84323 ÷ 217
    84323 ÷ 131072     		y = 0.643333435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463157653808594 × 2 - 1) × π
    -0.0736846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23148729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643333435058594 × 2 - 1) × π
    -0.286666870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.900590533161995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23148729} λ = -0.23148729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900590533161995))-π/2
    2×atan(0.406329637751309)-π/2
    2×0.385951023792608-π/2
    0.771902047585216-1.57079632675     		φ = -0.79889428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23148729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.263245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79889428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.773271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60707 KachelY 84323 -0.23148729 -0.79889428 -13.263245 -45.773271
    Oben rechts KachelX + 1 60708 KachelY 84323 -0.23143935 -0.79889428 -13.260498 -45.773271
    Unten links KachelX 60707 KachelY + 1 84324 -0.23148729 -0.79892771 -13.263245 -45.775186
    Unten rechts KachelX + 1 60708 KachelY + 1 84324 -0.23143935 -0.79892771 -13.260498 -45.775186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79889428--0.79892771) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79889428--0.79892771) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(-0.79889428) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697499478259774 × 6371000     		do = 213.034294297212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(-0.79892771) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697475522423784 × 6371000     		du = 213.026977568278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79889428)-sin(-0.79892771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697499478259774-0.697475522423784)×R²
    abs(-0.23143935--0.23148729)×2.39558359902414e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39558359902414e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39558359902414e-05×40589641000000     		ar = 45371.8038125688m²