Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60707 / 41298
↖ ↑ ↗
← N 55.250946°
W 13.263245°		 ← 174.09 m → N 55.250946°
W 13.260498°		 →
↑
174.12 m
↓
↑
174.12 m
↓
N 55.249381°
W 13.263245°		 ← 174.09 m →
30 313 m²		 N 55.249381°
W 13.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463161468505859 y=0.315082550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463161468505859 × 217)
    floor (0.463161468505859 × 131072)
    floor (60707.5)     		tx = 60707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315082550048828 × 217)
    floor (0.315082550048828 × 131072)
    floor (41298.5)     		ty = 41298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60707 / 41298 ti = "17/60707/41298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60707/41298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60707 ÷ 217
    60707 ÷ 131072     		x = 0.463157653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41298 ÷ 217
    41298 ÷ 131072     		y = 0.315078735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463157653808594 × 2 - 1) × π
    -0.0736846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23148729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315078735351562 × 2 - 1) × π
    0.369842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16189457299092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23148729} λ = -0.23148729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16189457299092))-π/2
    2×atan(3.19598256614526)-π/2
    2×1.26755362622257-π/2
    2.53510725244514-1.57079632675     		φ = 0.96431093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23148729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.263245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96431093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.250946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60707 KachelY 41298 -0.23148729 0.96431093 -13.263245 55.250946
    Oben rechts KachelX + 1 60708 KachelY 41298 -0.23143935 0.96431093 -13.260498 55.250946
    Unten links KachelX 60707 KachelY + 1 41299 -0.23148729 0.96428360 -13.263245 55.249381
    Unten rechts KachelX + 1 60708 KachelY + 1 41299 -0.23143935 0.96428360 -13.260498 55.249381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96431093-0.96428360) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dl = 174.11942999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96431093-0.96428360) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dr = 174.11942999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(0.96431093) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569983190330001 × 6371000     		do = 174.087537694189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(0.96428360) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.570005645985263 × 6371000     		du = 174.094396229314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96431093)-sin(0.96428360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569983190330001-0.570005645985263)×R²
    abs(-0.23143935--0.23148729)×2.24556552614885e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24556552614885e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24556552614885e-05×40589641000000     		ar = 30312.6199374184m²