Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60707 / 40649
↖ ↑ ↗
← N 56.254032°
W 13.263245°		 ← 169.67 m → N 56.254032°
W 13.260498°		 →
↑
169.66 m
↓
↑
169.66 m
↓
N 56.252506°
W 13.263245°		 ← 169.67 m →
28 786 m²		 N 56.252506°
W 13.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463161468505859 y=0.310131072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463161468505859 × 217)
    floor (0.463161468505859 × 131072)
    floor (60707.5)     		tx = 60707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310131072998047 × 217)
    floor (0.310131072998047 × 131072)
    floor (40649.5)     		ty = 40649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60707 / 40649 ti = "17/60707/40649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60707/40649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60707 ÷ 217
    60707 ÷ 131072     		x = 0.463157653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40649 ÷ 217
    40649 ÷ 131072     		y = 0.310127258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463157653808594 × 2 - 1) × π
    -0.0736846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23148729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310127258300781 × 2 - 1) × π
    0.379745483398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.19300562084434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23148729} λ = -0.23148729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19300562084434))-π/2
    2×atan(3.29697578940928)-π/2
    2×1.27630719893898-π/2
    2.55261439787796-1.57079632675     		φ = 0.98181807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23148729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.263245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98181807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.254032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60707 KachelY 40649 -0.23148729 0.98181807 -13.263245 56.254032
    Oben rechts KachelX + 1 60708 KachelY 40649 -0.23143935 0.98181807 -13.260498 56.254032
    Unten links KachelX 60707 KachelY + 1 40650 -0.23148729 0.98179144 -13.263245 56.252506
    Unten rechts KachelX + 1 60708 KachelY + 1 40650 -0.23143935 0.98179144 -13.260498 56.252506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98181807-0.98179144) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dl = 169.659730000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98181807-0.98179144) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dr = 169.659730000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(0.98181807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555511724658718 × 6371000     		do = 169.66757958265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(0.98179144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555533867538514 × 6371000     		du = 169.674342588098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98181807)-sin(0.98179144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555511724658718-0.555533867538514)×R²
    abs(-0.23143935--0.23148729)×2.2142879795406e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2142879795406e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2142879795406e-05×40589641000000     		ar = 28786.3294481524m²