Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60707 / 33888
↖ ↑ ↗
← N 65.256707°
W 13.263245°		 ← 127.84 m → N 65.256707°
W 13.260498°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 65.255557°
W 13.263245°		 ← 127.84 m →
16 346 m²		 N 65.255557°
W 13.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463161468505859 y=0.258548736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463161468505859 × 217)
    floor (0.463161468505859 × 131072)
    floor (60707.5)     		tx = 60707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258548736572266 × 217)
    floor (0.258548736572266 × 131072)
    floor (33888.5)     		ty = 33888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60707 / 33888 ti = "17/60707/33888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60707/33888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60707 ÷ 217
    60707 ÷ 131072     		x = 0.463157653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33888 ÷ 217
    33888 ÷ 131072     		y = 0.258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463157653808594 × 2 - 1) × π
    -0.0736846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23148729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258544921875 × 2 - 1) × π
    0.48291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51710699917554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23148729} λ = -0.23148729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51710699917554))-π/2
    2×atan(4.55901685895893)-π/2
    2×1.35487035704744-π/2
    2.70974071409488-1.57079632675     		φ = 1.13894439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23148729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.263245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13894439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.256707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60707 KachelY 33888 -0.23148729 1.13894439 -13.263245 65.256707
    Oben rechts KachelX + 1 60708 KachelY 33888 -0.23143935 1.13894439 -13.260498 65.256707
    Unten links KachelX 60707 KachelY + 1 33889 -0.23148729 1.13892432 -13.263245 65.255557
    Unten rechts KachelX + 1 60708 KachelY + 1 33889 -0.23143935 1.13892432 -13.260498 65.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13894439-1.13892432) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13894439-1.13892432) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(1.13894439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.418553433719698 × 6371000     		do = 127.836992223444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23148729--0.23143935) × cos(1.13892432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.418571661052311 × 6371000     		du = 127.842559319996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13894439)-sin(1.13892432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418553433719698-0.418571661052311)×R²
    abs(-0.23143935--0.23148729)×1.82273326134186e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82273326134186e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82273326134186e-05×40589641000000     		ar = 16346.3569340448m²