Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60707 / 14045
↖ ↑ ↗
← N 71.136316°
E153.473511°		 ← 197.48 m → N 71.136316°
E153.479004°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 71.134540°
E153.473511°		 ← 197.50 m →
39 004 m²		 N 71.134540°
E153.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.926322937011719 y=0.214317321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.926322937011719 × 216)
    floor (0.926322937011719 × 65536)
    floor (60707.5)     		tx = 60707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214317321777344 × 216)
    floor (0.214317321777344 × 65536)
    floor (14045.5)     		ty = 14045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60707 / 14045 ti = "16/60707/14045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60707/14045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60707 ÷ 216
    60707 ÷ 65536     		x = 0.926315307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14045 ÷ 216
    14045 ÷ 65536     		y = 0.214309692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.926315307617188 × 2 - 1) × π
    0.852630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.67861808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214309692382812 × 2 - 1) × π
    0.571380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79504514317262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67861808} λ = 2.67861808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79504514317262))-π/2
    2×atan(6.01974646612737)-π/2
    2×1.40617963411953-π/2
    2.81235926823907-1.57079632675     		φ = 1.24156294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67861808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.473511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24156294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.136316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60707 KachelY 14045 2.67861808 1.24156294 153.473511 71.136316
    Oben rechts KachelX + 1 60708 KachelY 14045 2.67871395 1.24156294 153.479004 71.136316
    Unten links KachelX 60707 KachelY + 1 14046 2.67861808 1.24153194 153.473511 71.134540
    Unten rechts KachelX + 1 60708 KachelY + 1 14046 2.67871395 1.24153194 153.479004 71.134540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24156294-1.24153194) × R
    3.09999999998922e-05 × 6371000     		dl = 197.500999999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24156294-1.24153194) × R
    3.09999999998922e-05 × 6371000     		dr = 197.500999999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67861808-2.67871395) × cos(1.24156294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32331768469341 × 6371000     		do = 197.478487635447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67861808-2.67871395) × cos(1.24153194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323347019542968 × 6371000     		du = 197.496405002792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24156294)-sin(1.24153194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32331768469341-0.323347019542968)×R²
    abs(2.67871395-2.67861808)×2.93348495574719e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93348495574719e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93348495574719e-05×40589641000000     		ar = 39003.9681384919m²