Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60706 / 41303
↖ ↑ ↗
← N 55.243118°
W 13.265991°		 ← 174.12 m → N 55.243118°
W 13.263245°		 →
↑
174.12 m
↓
↑
174.12 m
↓
N 55.241552°
W 13.265991°		 ← 174.13 m →
30 319 m²		 N 55.241552°
W 13.263245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463153839111328 y=0.315120697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463153839111328 × 217)
    floor (0.463153839111328 × 131072)
    floor (60706.5)     		tx = 60706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315120697021484 × 217)
    floor (0.315120697021484 × 131072)
    floor (41303.5)     		ty = 41303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60706 / 41303 ti = "17/60706/41303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60706/41303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60706 ÷ 217
    60706 ÷ 131072     		x = 0.463150024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41303 ÷ 217
    41303 ÷ 131072     		y = 0.315116882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463150024414062 × 2 - 1) × π
    -0.073699951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23153523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315116882324219 × 2 - 1) × π
    0.369766235351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.16165488849282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23153523} λ = -0.23153523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16165488849282))-π/2
    2×atan(3.19521663046308)-π/2
    2×1.26748531142823-π/2
    2.53497062285645-1.57079632675     		φ = 0.96417430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23153523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.265991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96417430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.243118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60706 KachelY 41303 -0.23153523 0.96417430 -13.265991 55.243118
    Oben rechts KachelX + 1 60707 KachelY 41303 -0.23148729 0.96417430 -13.263245 55.243118
    Unten links KachelX 60706 KachelY + 1 41304 -0.23153523 0.96414697 -13.265991 55.241552
    Unten rechts KachelX + 1 60707 KachelY + 1 41304 -0.23148729 0.96414697 -13.263245 55.241552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96417430-0.96414697) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dl = 174.11942999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96417430-0.96414697) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dr = 174.11942999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23153523--0.23148729) × cos(0.96417430) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570095447917035 × 6371000     		do = 174.121824050678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23153523--0.23148729) × cos(0.96414697) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570117901443672 × 6371000     		du = 174.128681935667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96417430)-sin(0.96414697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570095447917035-0.570117901443672)×R²
    abs(-0.23148729--0.23153523)×2.24535266368786e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24535266368786e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24535266368786e-05×40589641000000     		ar = 30318.5898016671m²