Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60704 / 56159
↖ ↑ ↗
← N 24.928786°
W 13.271484°		 ← 276.97 m → N 24.928786°
W 13.268738°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.926295°
W 13.271484°		 ← 276.98 m →
76 725 m²		 N 24.926295°
W 13.268738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463138580322266 y=0.428462982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463138580322266 × 217)
    floor (0.463138580322266 × 131072)
    floor (60704.5)     		tx = 60704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428462982177734 × 217)
    floor (0.428462982177734 × 131072)
    floor (56159.5)     		ty = 56159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60704 / 56159 ti = "17/60704/56159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60704/56159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60704 ÷ 217
    60704 ÷ 131072     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56159 ÷ 217
    56159 ÷ 131072     		y = 0.428459167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428459167480469 × 2 - 1) × π
    0.143081665039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.449504307737267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449504307737267))-π/2
    2×atan(1.56753497791807)-π/2
    2×1.00294285597548-π/2
    2.00588571195097-1.57079632675     		φ = 0.43508939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43508939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.928786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60704 KachelY 56159 -0.23163110 0.43508939 -13.271484 24.928786
    Oben rechts KachelX + 1 60705 KachelY 56159 -0.23158316 0.43508939 -13.268738 24.928786
    Unten links KachelX 60704 KachelY + 1 56160 -0.23163110 0.43504591 -13.271484 24.926295
    Unten rechts KachelX + 1 60705 KachelY + 1 56160 -0.23158316 0.43504591 -13.268738 24.926295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43508939-0.43504591) × R
    4.34800000000402e-05 × 6371000     		dl = 277.011080000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43508939-0.43504591) × R
    4.34800000000402e-05 × 6371000     		dr = 277.011080000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23158316) × cos(0.43508939) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906832368800403 × 6371000     		do = 276.969947296795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23158316) × cos(0.43504591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906850694392099 × 6371000     		du = 276.975544404199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43508939)-sin(0.43504591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906832368800403-0.906850694392099)×R²
    abs(-0.23158316--0.23163110)×1.83255916955671e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83255916955671e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83255916955671e-05×40589641000000     		ar = 76724.5194707976m²