Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60704 / 33910
↖ ↑ ↗
← N 65.231403°
W 13.271484°		 ← 127.96 m → N 65.231403°
W 13.268738°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 65.230253°
W 13.271484°		 ← 127.97 m →
16 370 m²		 N 65.230253°
W 13.268738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463138580322266 y=0.258716583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463138580322266 × 217)
    floor (0.463138580322266 × 131072)
    floor (60704.5)     		tx = 60704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258716583251953 × 217)
    floor (0.258716583251953 × 131072)
    floor (33910.5)     		ty = 33910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60704 / 33910 ti = "17/60704/33910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60704/33910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60704 ÷ 217
    60704 ÷ 131072     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33910 ÷ 217
    33910 ÷ 131072     		y = 0.258712768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258712768554688 × 2 - 1) × π
    0.482574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5160523873839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5160523873839))-π/2
    2×atan(4.55421140041319)-π/2
    2×1.35464954563138-π/2
    2.70929909126277-1.57079632675     		φ = 1.13850276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13850276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.231403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60704 KachelY 33910 -0.23163110 1.13850276 -13.271484 65.231403
    Oben rechts KachelX + 1 60705 KachelY 33910 -0.23158316 1.13850276 -13.268738 65.231403
    Unten links KachelX 60704 KachelY + 1 33911 -0.23163110 1.13848268 -13.271484 65.230253
    Unten rechts KachelX + 1 60705 KachelY + 1 33911 -0.23158316 1.13848268 -13.268738 65.230253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13850276-1.13848268) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dl = 127.929679999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13850276-1.13848268) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dr = 127.929679999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23158316) × cos(1.13850276) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418954477799314 × 6371000     		do = 127.959481408159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23158316) × cos(1.13848268) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418972710500203 × 6371000     		du = 127.96505014432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13850276)-sin(1.13848268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418954477799314-0.418972710500203)×R²
    abs(-0.23158316--0.23163110)×1.82327008891869e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82327008891869e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82327008891869e-05×40589641000000     		ar = 16370.1717133423m²