Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60703 / 41233
↖ ↑ ↗
← N 55.352574°
W 13.274231°		 ← 173.64 m → N 55.352574°
W 13.271484°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
N 55.351012°
W 13.274231°		 ← 173.65 m →
30 147 m²		 N 55.351012°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463130950927734 y=0.314586639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463130950927734 × 217)
    floor (0.463130950927734 × 131072)
    floor (60703.5)     		tx = 60703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314586639404297 × 217)
    floor (0.314586639404297 × 131072)
    floor (41233.5)     		ty = 41233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60703 / 41233 ti = "17/60703/41233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60703/41233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60703 ÷ 217
    60703 ÷ 131072     		x = 0.463127136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41233 ÷ 217
    41233 ÷ 131072     		y = 0.314582824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463127136230469 × 2 - 1) × π
    -0.0737457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23167904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314582824707031 × 2 - 1) × π
    0.370834350585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.16501047146622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23167904} λ = -0.23167904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16501047146622))-π/2
    2×atan(3.20595645409177)-π/2
    2×1.26844049487506-π/2
    2.53688098975012-1.57079632675     		φ = 0.96608466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23167904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.274231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96608466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.352574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60703 KachelY 41233 -0.23167904 0.96608466 -13.274231 55.352574
    Oben rechts KachelX + 1 60704 KachelY 41233 -0.23163110 0.96608466 -13.271484 55.352574
    Unten links KachelX 60703 KachelY + 1 41234 -0.23167904 0.96605741 -13.274231 55.351012
    Unten rechts KachelX + 1 60704 KachelY + 1 41234 -0.23163110 0.96605741 -13.271484 55.351012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96608466-0.96605741) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dl = 173.609750000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96608466-0.96605741) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dr = 173.609750000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23167904--0.23163110) × cos(0.96608466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568524897953859 × 6371000     		do = 173.642137665969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23167904--0.23163110) × cos(0.96605741) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568547315392811 × 6371000     		du = 173.648984528849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96608466)-sin(0.96605741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568524897953859-0.568547315392811)×R²
    abs(-0.23163110--0.23167904)×2.24174389523712e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24174389523712e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24174389523712e-05×40589641000000     		ar = 30146.5624527274m²