Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60702 / 40614
↖ ↑ ↗
← N 56.307396°
W 13.276977°		 ← 169.40 m → N 56.307396°
W 13.274231°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
N 56.305872°
W 13.276977°		 ← 169.40 m →
28 697 m²		 N 56.305872°
W 13.274231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463123321533203 y=0.309864044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463123321533203 × 217)
    floor (0.463123321533203 × 131072)
    floor (60702.5)     		tx = 60702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309864044189453 × 217)
    floor (0.309864044189453 × 131072)
    floor (40614.5)     		ty = 40614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60702 / 40614 ti = "17/60702/40614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60702/40614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60702 ÷ 217
    60702 ÷ 131072     		x = 0.463119506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40614 ÷ 217
    40614 ÷ 131072     		y = 0.309860229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463119506835938 × 2 - 1) × π
    -0.073760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23172697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309860229492188 × 2 - 1) × π
    0.380279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19468341233104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23172697} λ = -0.23172697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19468341233104))-π/2
    2×atan(3.30251207038445)-π/2
    2×1.27677289037384-π/2
    2.55354578074769-1.57079632675     		φ = 0.98274945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23172697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.276977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98274945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.307396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60702 KachelY 40614 -0.23172697 0.98274945 -13.276977 56.307396
    Oben rechts KachelX + 1 60703 KachelY 40614 -0.23167904 0.98274945 -13.274231 56.307396
    Unten links KachelX 60702 KachelY + 1 40615 -0.23172697 0.98272286 -13.276977 56.305872
    Unten rechts KachelX + 1 60703 KachelY + 1 40615 -0.23167904 0.98272286 -13.274231 56.305872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98274945-0.98272286) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dl = 169.404890000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98274945-0.98272286) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dr = 169.404890000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23172697--0.23167904) × cos(0.98274945) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554737033250049 × 6371000     		do = 169.395626589418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23172697--0.23167904) × cos(0.98272286) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554759156618236 × 6371000     		du = 169.402382226038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98274945)-sin(0.98272286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554737033250049-0.554759156618236)×R²
    abs(-0.23167904--0.23172697)×2.2123368187521e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2123368187521e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2123368187521e-05×40589641000000     		ar = 28697.0197095636m²