Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 607 / 991
↖ ↑ ↗
← N 67.642677°
W126.650391°		 ← 3 717.49 m → N 67.642677°
W126.562500°		 →
↑
3 720.15 m
↓
↑
3 720.15 m
↓
N 67.609220°
W126.650391°		 ← 3 722.77 m →
13 839 448 m²		 N 67.609220°
W126.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1483154296875 y=0.2420654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1483154296875 × 212)
    floor (0.1483154296875 × 4096)
    floor (607.5)     		tx = 607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2420654296875 × 212)
    floor (0.2420654296875 × 4096)
    floor (991.5)     		ty = 991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 607 / 991 ti = "12/607/991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/607/991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 607 ÷ 212
    607 ÷ 4096     		x = 0.148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 991 ÷ 212
    991 ÷ 4096     		y = 0.241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.70361328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.21046632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241943359375 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62141769274878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21046632} λ = -2.21046632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62141769274878))-π/2
    2×atan(5.06025912644879)-π/2
    2×1.37569187160597-π/2
    2.75138374321194-1.57079632675     		φ = 1.18058742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21046632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18058742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.642677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 607 KachelY 991 -2.21046632 1.18058742 -126.650391 67.642677
    Oben rechts KachelX + 1 608 KachelY 991 -2.20893233 1.18058742 -126.562500 67.642677
    Unten links KachelX 607 KachelY + 1 992 -2.21046632 1.18000350 -126.650391 67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 608 KachelY + 1 992 -2.20893233 1.18000350 -126.562500 67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18058742-1.18000350) × R
    0.00058391999999996 × 6371000     		dl = 3720.15431999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18058742-1.18000350) × R
    0.00058391999999996 × 6371000     		dr = 3720.15431999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21046632--2.20893233) × cos(1.18058742) × R
    0.00153398999999999 × 0.380381626612921 × 6371000     		do = 3717.48876628004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21046632--2.20893233) × cos(1.18000350) × R
    0.00153398999999999 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 3722.76583845041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18058742)-sin(1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380381626612921-0.380921588243505)×R²
    abs(-2.20893233--2.21046632)×0.000539961630584174×R²
    0.00153398999999999×0.000539961630584174×6371000²
    0.00153398999999999×0.000539961630584174×40589641000000     		ar = 13839448.0480721m²